Hoy, el profesor de mi clase ha dicho que cualquier transformación de similitud de una matriz es esencialmente un cambio de base. Así que como resultado, terminamos con la misma transformación, sólo que con respecto a una base diferente. No lo he entendido, ¿podría alguien explicar la intuición de cómo multiplicar una matriz por $S$ de la izquierda y $S^{-1}$ produce la misma transformación pero con una base diferente?
Respuesta
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Un $n\times n$ es invertible si y sólo si las columnas son una base para $\mathbb{R}^n$ . Para que pueda ver $S^{-1}$ como la matriz de cambio de base que se traduce desde la base cuyos vectores son las columnas de $S^{-1}$ a la base estándar. A continuación, $S$ es la matriz que traduce de la base estándar a la base cuyos vectores son las columnas de $S^{-1}$ .
Así que cuando usted realiza $SAS^{-1}$ se puede ver de la siguiente manera: se le da un vector de coordenadas en términos de la base $\beta$ formado por las columnas de $S^{-1}$ . Entonces $S^{-1}$ traduce esto en la base estándar; entonces se aplica $A$ como de costumbre; luego se aplica $S$ y traducirlo de nuevo a la base $\beta$ . Para que pueda ver $SAS^{-1}$ como la realización de $A$ pero en términos de la base $\beta$ .
