Demostrar que Anosov Automorfismos son caóticas

Question

Permítanme añadir algún detalle en primer lugar.

Un Anosov automorphism en $R^2$ es una asignación de la unidad de la plaza de $S$ a $S$ de la forma

$\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}a && b \\c && d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}mod \hspace{1mm}1$

en la que (i) $a, b, c, and \hspace{1mm} d$ son enteros, (ii) el determinante de la matriz es $\pm$1, y (iii) los autovalores de la matriz no tiene magnitud $1$.

Es fácil mostrar que Arnold gato del mapa es un Anosov automorphism, y que es caótico.

Para definir la "caótica" en este contexto,

Un mapeo $T$ $S$ sobre sí misma, se dice que el ser caótico si:

(i) $S$ contiene un denso conjunto de periódico puntos de la asignación de $T$

(ii) Hay un punto en $S$ cuyo recorre en $T$ son densos en $S$.

Dicho esto, se dice que todas las Anosov automorfismos son caóticas de las asignaciones. Basado en la definición de caótico, ¿cómo se puede demostrar que la declaración?

Cualquier comentario será apreciado.

Answer 1

La prueba de que hay un denso conjunto de periódico puntos debe ser algo como esto. Considerar un punto racional de los componentes, tanto con denominador $q$ (no me insisten en que el ser racionales en términos mínimos). Entonces cada punto en la órbita de ese punto también tendrá racional de los componentes con denominador $q$. Pero hay sólo un número finito de puntos en $S$ con racional de los componentes con denominador $q$, por lo que la órbita debe visitar algún punto dos veces. Una vez que se visita algún punto dos veces, debe seguir visitando los mismos puntos una y otra vez, de forma periódica. Así que esto demuestra cada punto racional de los componentes es pre-periódico. Pero $T$ es de uno a uno de manera pre-periódico puntos son periódicas. Como los puntos racionales de los componentes son densos, hemos terminado.

EDIT: La prueba de que el mapa es topológicamente transitivo (equivalente, en esta configuración, para tener un punto con densa órbita), parece ser más difícil. En Elaydi, Discreto Caos, 2ª edición, tarda de dos páginas, a partir de mediados de la página 285 a mediados de la página 287.

Answer 2

Un enfoque diferente en probar el caos en la superficie diffeomorphisms es a través de la Thurston-Nielsen clasificación theoreom. Si usted puede probar que no existen órbitas periódicas que se trenza en una no-forma trivial, de que se hacen.