Ejemplo de computación en la expectativa de una discreta RV uso de Riemann-Stieltjes integral?

Question

Riemann-Stieltjes integral se utiliza la notación en la expectativa de expresiones en cierta probabilidad de textos. Básicamente, dF(x) aparece en la integral en lugar de f(x)dx en la integral, ya que el CDF F(x) puede no ser diferenciable para una distribución discreta.

La motivación que he escuchado por esto es por lo general para proporcionar una definición unificada de la expectativa en lugar de tratar con un caso discreto y continuo de caso. También se supone que es más fácil pensar acerca de las mezclas de discretos y continuos. Pero nunca he visto un ejemplo de cálculo de una expectativa con una de Riemann-Stieltjes integral para una distribución discreta (o de una distribución que es una mezcla de un punto de masas y de una distribución continua).

Por favor alguien puede dar un ejemplo de ambos o de cualquiera de los dos? Gracias!

Answer 1

Ya que no parezca que he hecho mucho con la integral, voy a hablar de esto en muy elemental (y un poco handwavy) de la moda que debe transmitir algo de lo que sucede. Sin embargo, usted puede empezar con un recordatorio, por echar un vistazo a la definición de una integral de Stieltjes, véase, por ejemplo Mathworld o Wikipedia. Haciendo las integrales correctamente implica considerar el límite en la definición, y en las ocasiones en que no es tan obvia, que es realmente lo que usted necesita hacer.

Si la distribución es puramente discretos, a continuación, $dF$ 0 excepto en los saltos, donde es $p(x)$ -- por discreta de los casos la integral es, literalmente, la suma de costumbre.

Sólo como un ejemplo, considere una de Bernoulli(0.4).

Así, para este ejemplo, $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\,x\,dF = \sum_x x\,p(x)$. (Que no son solo "son iguales en valor", pero "esas cosas son distintas formas de expresar la misma cosa".)

Así que aquí $dF$ $0$ todas partes, pero en $x=0$ (donde$dF$$0.6$) y $x=1$ (donde es $0.4$). De modo que la expresión es sólo $0\cdot 0.6 + 1 \cdot 0.4$.

Si bien la unificación de discretos y continuos fórmulas es limpio, no es realmente donde está la mayor parte de su valor viene a mi mente. Veo más valor en el hecho de que se aplica a los casos en los que no tienen ni discretas ni aleatoria continua las variables-y hay muchos casos donde eso es algo que encuentro con datos reales, por lo que no esotéricos problema teórico. Tener la notación que sin problemas puede lidiar con los "ni discretas ni continua" de los casos, así como con el discretos y continuos casos especiales, todo al mismo tiempo, que es donde hay algún beneficio real.

Tomar un buen caso sencillo en el que ninguno de los dos, por ejemplo, una distribución de las precipitaciones durante un mes dado y la ubicación, tal vez modelada como una mezcla de una probabilidad de $0.6$ cero de la lluvia, y no-cero de lluvia se lognormal$(\mu,\sigma^2)$ (donde $\mu=1.384$,e $\sigma=1.823$) (que podría ser denominado como un "cero-inflado lognormal" modelo)

Entonces en este caso, una integral como para que la expectativa de, $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \, dF$ puede ser tratado con bastante facilidad, ya que funciona como el discreto definición y en ese salto (sólo añadiendo $x.p(x)$ en el salto, que resulta de agregar $0$ a la integral, ya que todo lo que $0.6$ de probabilidad fue en $x=0$) y, a continuación, en este caso en todas partes por encima de $0$ (debido a que la función es bastante agradable que Stieltjes es el mismo ordinario de Riemann) el resto funciona como una integral de Riemann de $x\cdot f(x)$ sobre $0$, siempre y cuando tengamos en cuenta que $dF$ es menor de lo que sería para la lognormal (por encima de $0$ puede ver $F$ es "aplastado" en relación a un puro lognormal cdf), exactamente de la contabilidad de la probabilidad ($0.4$) de exceder $0$ aquí.

Por supuesto, esto funciona muy bien para algo más que para $g(x)=x$; sólo estoy tomando los casos más sencillos para mostrar un poco de lo que está pasando. (whuber señaló un buen ejemplo en los comentarios, donde él hace una MGF cálculo para un no-problema simple, en donde la distribución termina como una mezcla de distribución)

Solo con estos muy agradable funciones (donde se las puede tratar como Riemann, de donde son continuas, que es un subconjunto de los casos cubiertos por Stieltjes) hay infinitos casos en tales mezclas (en lugar de simplemente 'discretos' o 'continuo') que puede ser manejado por este notación.

Una referencia útil que utiliza esta integral ampliamente para mostrar o discutir una variedad de resultados, es la Avanzada de la Teoría de Estadísticas (Kendall y Stuart -- o en las ediciones más recientes, Stuart y Ord). No dejes que el título de asustar, es un libro muy fácil de leer.

Así que si usted (por ejemplo) jugar con las integrales, mientras que mirando a decir una desigualdad de Chebyshev, no sólo haciendo un caso discreto y continuo caso, al mismo tiempo ... que está cubriendo cualquier distribución de la Stieltjes integral de las obras para, así, si usted se pregunta acerca de lo que sucede en Chebyshev si usted tiene una distribución como decir que las precipitaciones uno, lo, es cuidado por que el mismo desarrollo. Y si el día de mañana, su amigo se enciende con un cero-uno inflado beta, bueno, ya cubierto. Y así sucesivamente ...

[Si te encuentras en una situación donde usted no puede ver inmediatamente lo que la integral significa, volver a la definición y seguir a través de.]

(Este bonito integral se puede generalizar aún más, por supuesto, para fines estadísticos, en general, a la Lebesgue o Lesbesgue-Stieltjes integral)