Sin ser competente en matemáticas a todos, me han descubierto, mirando serie de números, que $6$ $n$- ésima potencia siempre parece terminar con el dígito $6$.
Aquí alguien dispuesto a vincularme a una prueba?
He estado buscando en google, sin suerte, probablemente debido a que utiliza las palabras claves equivocadas.
Si se multiplican dos números enteros cuyo último dígito es 6, se obtiene un número entero cuyo último dígito es 6: $$ \begin{array} {} & {} & {} & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & 6 \\ \times & {} & {} &\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & 6 \\ \hline {} & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & 6 \end{array} $$ (Obtener 36, y el "3", etc.)
Para decirlo de otra manera, si el último dígito es 6, entonces el número es $(10\times\text{something}) + 6$. Así $$ \begin{align} & {} \qquad \Big((10\times\text{something}) + 6\Big) \times \Big((10\times\text{something}) + 6\Big) \\ & = \Big((10\times\text{something})\times (10\times\text{something})\Big) \\ & {} \quad + \Big((10\times\text{something})\times 6\Big) + \Big((10\times\text{something})\times 6\Big) + 36 \\ & = \Big(10\times \text{something}\Big) +36 \\ & = \Big(10\times \text{something} \Big) + 6. \end{align} $$
Podemos demostrar que el uso de la inducción matemática.
Reclamo: $6^n\equiv 6\bmod 10$ todos los $n\in\mathbb{N}$ (el símbolo $\mathbb{N}$ indica los números naturales, y $\bmod 10$ significa que estamos usando aritmética modular con un módulo de 10).
Caso Base (es decir, mostrando que es cierto para $n=1$): $$6^1\equiv 6\bmod 10\qquad\checkmark$$
La inducción de paso (es decir, mostrando que, si es verdad para $n=k$, entonces es cierto para $n=k+1$):
$$6^k\equiv 6\bmod 10\implies 6^{k+1}\equiv 6^k\cdot 6\equiv6\cdot 6\equiv 36\equiv 6\bmod 10\qquad\qquad\checkmark$$
SUGERENCIA $\rm\ \ 6-1\ |\ 6^k-1,\ $ $\rm\:\ 2,5\ |\ 6^n-6\ \Rightarrow\ 10\ |\ 6^n - 6\:,\ $ es decir $\rm\ 6^n\ =\ 6 + 10\ k\:$ $\rm\:k\in\mathbb Z\:.$
Alternativamente: $\rm\ mod\ 10:\ \ 6^n\equiv 6\ $ desde el es $\rm\ 0^n \equiv 0\pmod 2,\ \ 1^n \equiv 1\pmod 5$
Del mismo modo extraño $\rm\:b\: \Rightarrow\: (b+1)^n\equiv b+1\pmod{2\:b}\:,\:$ $\rm\:(b+1)^n\:$ último dígito $\rm\:b+1\:$ en radix $\rm\:2\:b\:.$
NOTA cómo la aritmética modular reduce la inducción a la trivial inducciones $\rm\ 0^n = 0,\ 1^n = 1\:.$ Este es un prototipo de ejemplo del tipo de simplificación otorgada por la reducción de problemas aritméticos con sus contrapartes en la simple aritmética de los anillos de enteros $\rm\:(mod\ m)\:.\:$
Esto se desprende de la más general resultado de que el producto de dos números que terminan con dígito 6 también termina con 6 dígitos. Esto puede ser probado en un modo elemental: $$(10x+6)\cdot(10y+6) = 100xy + 60x +60y + 36 = 10(10xy+6x +6y +3) + 6 = 10z+6$$
Por supuesto, evitando todas estas letras es lo que congruencias son todos acerca de.
$6 \times 6 \equiv 6 \pmod{10}$.
O, más elementarily poner, vuelve a pensar en el lápiz-y-papel algoritmo de la multiplicación. Al multiplicar algo por 6, la única parte de la cantidad original que puede afectar a la última cifra del resultado es el último dígito de la original. Si usted comienza con algo que termina en 6, se obtiene 36 de la última posición, escriba 6 y llevar a la 3. Pero no importa lo que suceda después de la de transportar, no puede afectar a la final 6 que ya se ha producido.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
