¿Cómo debo entender la diferencia o relación entre la distribución binomial y la Bernoulli?
¿Cómo debo leer $\binom{5}{3} p^3 (1-p)^2$ ? Por favor, comprenda si le estoy preguntando lo más básico, soy nuevo en esto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Una variable aleatoria Bernoulli tiene dos resultados posibles: $0$ o $1$ . Una distribución binomial es la suma de independiente y idénticamente variables aleatorias distribuidas de Bernoulli.
Así, por ejemplo, digamos que tengo una moneda y, al lanzarla, la probabilidad de que salga cara es $p$ . Así que la probabilidad de que salga cruz es $1-p$ (no hay otros resultados posibles para el lanzamiento de la moneda). Si la moneda sale cara, ganas un dólar. Si sale cruz, no ganas nada.
Para un solo lanzamiento de una moneda, la probabilidad de ganar un dólar es $p$ . La variable aleatoria que representa sus ganancias después de un lanzamiento de moneda es una variable aleatoria de Bernoulli.
Ahora, si lanzas la moneda $5$ veces, sus ganancias pueden ser cualquier número entero de dólares desde cero dólares hasta cinco dólares, inclusive. La probabilidad de que gane cinco dólares es $p^5$ porque cada lanzamiento de la moneda es independiente de los demás, y para cada lanzamiento la probabilidad de salir cara es $p$ .
¿Cuál es la probabilidad de que gane exactamente ¿tres dólares en cinco lanzamientos? Para ello habría que lanzar la moneda cinco veces, obteniendo exactamente tres caras y dos colas. Esto se puede conseguir con la probabilidad $\binom{5}{3} p^3 (1-p)^2$ . Y, en general, si hay $n$ ensayos Bernoulli, entonces la suma de esos ensayos está distribuida binomialmente con parámetros $n$ y $p$ .
Obsérvese que una variable aleatoria binomial con parámetro $n = 1$ es equivalente a una variable aleatoria Bernoulli, es decir, sólo hay un ensayo.
Digamos que representamos el resultado de los cinco lanzamientos de la moneda como una lista, y que tres de esos lanzamientos deben salir cara. Entonces podemos tener $$\begin{align*}&\{H,H,H,T,T\}, \\ &\{H,H,T,H,T\}, \\ &\{H,H,T,T,H\}, \\ &\{H,T,H,H,T\}, \\ &\{H,T,H,T,H\}, \\ &\{H,T,T,H,H\}, \\ &\{T,H,H,H,T\}, \\ &\{T,H,H,T,H\}, \\ &\{T,H,T,H,H\}, \\ &\{T,T,H,H,H\}. \end{align*}$$ Como puede ver, hay $\binom{5}{3} = 10$ formas de elegir las posiciones de las tres cabezas entre los cinco lanzamientos; y para cada uno de estos resultados, la probabilidad de observar tres cabezas es $p^3$ y dos colas es $(1-p)^2$ .
Quiero señalar que esta respuesta no responde a la pregunta específica del post original, es decir, cuál es la diferencia entre un Bernoulli distribución y un binomio distribución . La respuesta de Michael Hardy más abajo aborda esta cuestión específica.
Michael Hardy
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128804
Todas las distribuciones Bernoulli son distribuciones binomiales, pero la mayoría de las distribuciones binomiales no son distribuciones Bernoulli.
Si $$ X=\begin{cases} 1 & \text{with probability }p, \\ 0 & \text{with probability }1-p, \end{cases} $$ entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$ es una distribución Bernoulli.
Si $X=X_1+\cdots+X_n$ y cada uno de $X_1,\ldots,X_n$ tiene una distribución Bernoulli con el mismo valor de $p$ y son independientes, entonces $X$ tiene una distribución binomial, y los posibles valores de $X$ son $\{0,1,2,3,\ldots,n\}$ . Si $n=1$ entonces esa distribución binomial es una distribución Bernoulli.
@NeelBasu : $X_i$ no es una distribución, sino que $X_i$ tiene una distribución. $X_i$ es una variable aleatoria.
@Michael Hardy: dijiste $ X_1, ..., X_n $ tiene una distribución Bernoulli con el mismo valor de $ p $ ... ¿Es necesario que cada variable aleatoria de X tenga el mismo valor de p para estar idénticamente distribuida?
ali786
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crf
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Una variable aleatoria Bernoulli $X$ es una variable aleatoria que satisface $P(X=1)=p$ , $P(X=0)=1-p$ . Un ejemplo canónico es el lanzamiento de una moneda que tiene $p=1/2$ . De hecho, se puede pensar que una variable aleatoria Bernoulli es simplemente una moneda ponderada, que sale $1$ con cierta probabilidad y $0$ de lo contrario. Una variable aleatoria binomial con parámetros $n,p$ es lo que se obtiene cuando se cuenta el número de $1$ (éxitos) que aparecen en una cadena de $n$ variables aleatorias de Bernoulli independientes, cada una con el parámetro $p$ . Otra forma de decir esto es que una variable aleatoria binomial es la suma de variables aleatorias Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas.
