La prueba de Heine teorema de Borel

Question

Estoy tratando de probar la de Heine Borel teorema de compacidad del intervalo cerrado $[0,1]$ el uso de Konig del lexema. Esto es lo que tengo hasta ahora:

1. Asumo $[0,1]$ pueden ser cubiertos por $\{(a_i,b_i):i=0,1,2\cdots\}$.

2. Puedo construir un gráfico de $G$ como sigue: en Primer lugar dejar un vértice ser etiquetados $[0,1]$ (la raíz). A continuación, considere la posibilidad de $[0,1]-(a_0,b_0)\cup(a_1,b_1)$. Este consta de $n_1$ cerrado intervalos donde $n_1$ es finito. Adhieren a las $[0,1]$ vértice con $n_1$ vértices marcados por estos intervalos cerrados (estos vértices va a estar en el nivel 1). El próximo considerar $[0,1]-(a_0,b_0)\cup(a_1,b_1)\cup(a_2,b_2)$. Este consta de $n_2$ cerrado intervalos. Cada uno de estos intervalos cerrados es un subconjunto de exactamente uno de los intervalos cerrados considerados en el paso anterior. Hacer $n_2$ vértices marcados por estos intervalos cerrados y adherirles a ese vértice creado en el paso anterior, de la cual es un subconjunto de (estos vértices va a estar en el nivel 2). Seguir en los niveles superiores, cada vez que la obtención de las etiquetas considerando el intervalo cerrado obtenidos a partir de $[0,1]-(a_0,b_0)\cup(a_1,b_1)\cdots \cup(a_i,b_i)$.

3. Esto produce un árbol de raíces $G$ donde cada nivel es finito.

4. Supongamos que el árbol de contenidos de un camino infinito: $[0,1]\supset[\alpha_1,\beta_1]\supset[\alpha_2,\beta_2]\cdots$.

5. Desde una secuencia anidada de intervalos cerrados es no vacío de modo que hay un elemento $x$. Como $x\in [0,1]$ $x\in(a_i,b_i)$ algunos $i$. Pero, a continuación, $x$ no puede existir en cualquier intervalo que se encuentra en un nivel más allá de $i$, lo que da una contradicción a 4.

6. Así que por el contrapositivo forma de Konig del lexema, $G$ no puede ser infinito. De ello se desprende que para algunos $i$, $[0,1]-(a_0,b_0)\cup(a_1,b_1)\cdots \cup(a_i,b_i)$ está vacío. Por lo tanto $[0,1]$$(a_0,b_0)\cup(a_1,b_1)\cdots \cup(a_i,b_i)$.

Mis dudas son en los argumentos presentados en 2. y 6. Son correctas? En particular, es esta declaración: "Cada uno de estos intervalos cerrados es un subconjunto de exactamente uno de los intervalos cerrados considerados en el paso anterior." ¿correcto?

¿Qué es un límite superior para $n_k$?

Gracias

Answer 1

El argumento es correcto, pero puede ser limpiado un poco. Aquí está una manera posible.

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Sin pérdida de generalidad supongamos que $0\in(a_0,b_0)$, $1\in(a_1,b_1)$, y $b_0\le a_1$. Construir una secuencia de subconjuntos cerrados de $[0,1]$ como sigue: $C_0=[0,1]$, e $C_{n+1}=C_n\setminus(a_n,b_n)$$n\in\Bbb N$.

Reclamo: Cada una de las $C_n$ es la unión de un número finito de la familia de pares distintos intervalos cerrados (que puede ser degenerada).

Prueba: Esto es claramente cierto para $C_0,C_1=[b_0,1]$, e $C_2=[b_0,a_1]$. Supongamos que se tiene para $C_n$ donde $n\ge 2$, y escribir $C_n=\bigcup_{k=1}^m[c_k,d_k]$ donde $c_1\le d_1<c_2\le d_2<\dots<c_m\le d_m$. Es decir,$c_k\le d_k$$k=1,\dots,m$, e $d_k<c_{k+1}$$k=1,\dots,m-1$. A continuación, $C_{n+1}$ es distinto de la unión de los siguientes intervalos cerrados: los intervalos de $[c_k,d_k]$ tal que $d_k\le a_n$ o $c_k>b_n$; el intervalo de $[c_k,a_n]$ si $c_k\le a_n<d_k$; y el intervalo de $[b_n,d_k]$ si $c_k<b_n\le d_k$. El resultado se sigue ahora por inducción. $\dashv$

Para $n\in\Bbb N$ deje $\mathscr{C}_n$ el conjunto de pares distintos intervalos cerrados que son los componentes conectados de $C_n$, y deje $\mathscr{C}=\bigcup_{n\in\Bbb N}\mathscr{C}_n$. Es claro que si $m\le n$$I\in\mathscr{C}_n$, no hay una única $J\in\mathscr{C}_m$ tal que $I\subseteq J$. Por lo tanto, $\langle\mathscr{C},\supseteq\rangle$ es un árbol de altura $\omega$, e $\mathscr{C}_n=\operatorname{Lev}_n\mathscr{C}$ por cada $n\in\Bbb N$, lo $\mathscr{C}$ ha finito de niveles. De ello se deduce a partir del teorema de König que hay una rama de $\beta=\langle I_n:n\in\Bbb N\rangle$ a través de $\mathscr{C}$. A continuación, $\beta$ es una secuencia anidada de intervalos cerrados, por lo $\bigcap_{n\in\Bbb N}I_n\ne\varnothing$. Fix $x\in\bigcap_{n\in\Bbb N}I_n\ne\varnothing$. A continuación,$x\in[0,1]$, pero para cada una de las $n\in\Bbb N$ tenemos $x\in I_{n+1}\subseteq[0,1]\setminus(a_n,b_n)$, lo $x\in[0,1]\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}(a_n,b_n)$, contradiciendo la suposición de que $\{(a_n,b_n):n\in\Bbb N\}$ es un cover de $[0,1]$.

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Para la exhaustividad, hay un par de cosas que usted debe decir primero: usted realmente debe comenzar con una hoja de apertura de la tapa $\mathscr{U}$ $[0,1]$ y luego justificar la sustitución por una contables cubierta por la apertura de los intervalos. Cómo hacerlo depende de lo que considere la posibilidad de estar disponible.

Para responder a la última pregunta, tenga en cuenta que cada paso puede aumentar el número de intervalos cerrados en uno: en mi construcción esto sucede exactamente cuando hay un $k$ tal que $c_k\le a_n<b_n\le d_k$. Desde $|\mathscr{C}_n=1|$$n=0,1,2$, esto significa que $|\mathscr{C}_n|\le n-1$$n\ge 2$.