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La computación de Sylow $p$-subgrupos de los clásicos grupos de

Deje $p>4$ primo, y vamos a $G=GL_2(\mathbb{F}_p)$, $H=O_3(\mathbb{F}_p)$, y $K=Sp_4(\mathbb{F}_p)$.

Sabemos que $|G|=p(p-1)^2(p+1)$, por lo que un Sylow $p$-subgrupo de $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. De hecho, hay $p+1$ dichos subgrupos. Podemos escribir un generador para cada uno de ellos?

También sabemos que $|H|=2p(p+1)(p-1)$, por lo que un Sylow $p$-subgrupo de $H$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Hay también $p+1$ subgrupos, y podemos escribir generadores?

Finalmente, sabemos que la $|K|=p^4(p-1)^2(p+1)^2(p^2+1)$. ¿Cuál es el isomorfismo de la clase de Sylow $p$-subgrupo de $K$, cuántos hay, y podemos escribir generadores y relaciones?

Recuerdo que resolver la primera pregunta, la participación de $G$, pero la solución que se me escapa en este momento. Los otros dos son extensiones estándar de la primer problema con el que también estoy interesado en el.

Cualquier referencia y/o solución parcial es de agradecer. Gracias!

Edit: para responder A los comentarios, me gustaría ser capaz de escribir explícitamente abajo de las matrices que generan los subgrupos, uno para cada subgrupo. Como se señaló por Tobias, la matriz:

$$\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$$

para $a\ne 0$, genera una Sylow $p$-subgrupo de $G$, así que me gustaría encontrar a $p$ más de matrices de orden $p$ que generan distintos subgrupos. Estas matrices deben ser indexados por nuestro campo de $\mathbb{F}_p$. Ellos están determinados a ser conjugados de la anterior matriz, pero dos arbitraria conjugados puede generar el mismo subgrupo.

Edit 2: he resuelto el problema de $G$. Aquí está una lista de generadores de la $p+1$ Sylow $p$-subgrupos de $G$:

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2&a\\-a^{-1}&0\end{pmatrix}$$

donde $a=1,\ldots,p-1$. Cada matriz es de orden $p$, y genera un subgrupo distinto.

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Jonik Puntos 7937

Simpléctica grupo

Yo todavía no la dirección de la identificación de todas máxima unipotentes subgrupos, pero se acaba de describir de la norma.

La máxima unipotentes subgrupos de la simpléctica grupo en cuatro dimensiones sobre el campo $K$ tiene una buena descripción en términos de ciertos agradable elementos. $\newcommand{\m}[1]{\left[\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right]}$

Deje $$G=\left\{ g \in \operatorname{GL}(4,K) : gxg^T = x \right\}, \quad x=\m{0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\\ -1&0&0&0}$$

ser un simpléctica grupo. Tiene dos estándar máxima unipotentes subgrupos, el superior y el inferior, que sólo se diferencian por ser traslada de uno a otro. La parte inferior es: $$P=\left\{ \m{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ y & w & 1 & 0 \\ z & y-xw & -x & 1 } : x,y,z,w \in K \right\}$$

Definir $$ x_1(t) = \m{1&0&0&0\\t&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&-t&1}, \quad x_2(t) = \m{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&t&1&0\\0&0&0&1}, \quad x_3(t) = \m{1&0&0&0\\0&1&0&0\\t&0&1&0\\0&t&0&1}, \quad x_4(t) = \m{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\t&0&0&1}, \quad $$

Tenga en cuenta que $$\begin{array}{lrl} (1) & x_i(s)x_i(t) &= x_i(s+t) \\ (2) & x_2(t)x_1(s) &= x_1(s) x_2(t) x_3(st) x_4(s^2t) \\ (3) & x_3(t)x_1(s) &= x_1(s) x_3(t) x_4(2st) \\ (4) & x_4(t)x_1(s) &= x_1(s) x_4(t) \\ (5) & x_3(t)x_2(s) &= x_2(s) x_3(t) \\ (6) & x_4(t)x_2(s) &= x_2(s) x_3(t) \\ (7) & x_4(t)x_3(s) &= x_3(s) x_4(t) \\ \end{array}$$

Si $K$ tiene características de no $2$, $P$ rango $2k$, generado por $x_1(s)$, e $x_2(t)$ donde $s,t$ gama de más de una generación conjunto de aditivos de grupo de $K$. $[P,P]$ es isomorfo al grupo aditivo de dos dimensiones espacio vectorial $K^2$$K$, y se genera como un grupo por $x_3(s)$ $x_4(t)$ $s,t$ a partir de un set de generación de energía de la aditivo grupo de $K$. $[P,P,P]$ es isomorfo al grupo aditivo de $K$, y se genera como un grupo por $x_4(t)$ donde $t$ rangos de más de una generación conjunto de aditivos de grupo de $K$.

Al $K$ tiene la característica 2, las cosas se hacen menos sentido para mí. El nilpotency de la clase es de 2. Cuando $|K|>2$, $P/[P,P] \cong [P,P] \cong (K^+)^2$, pero cuando $|K|=2$, $P\cong C_2 \times D_8$ se comporta de forma diferente.

El normalizador de la $P$ es el semidirect producto de $P$ y un máximo de dividir la máxima torus $$H=\left\{ \m{ s & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & s^{-1} } : s,t \in K^\times \right\}$$

En particular, la colección de máximas unipotentes subgrupos es en bijection con $(|K|^2+1)(|K|+1)^2$.

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Jonik Puntos 7937

Aquí está una respuesta similar para las tres dimensiones generales ortogonal grupo $$G=O_3(K) = \left\{ g \in \operatorname{GL}(3,K) : g \cdot x \cdot g^T = x \right\}, \quad x = \left[\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{smallmatrix}\right]$$ sobre un campo $K$ de carácter no 2. En la siguiente, "unipotentes elemento" significa $p$-elemento, "unipotentes subgrupo" significa $p$-subgrupo, y de "máxima unipotentes subgrupo" significa Sylow $p$-subgrupo. Sin embargo, decir unipotentes permite a las declaraciones de permanecer fiel a más no prime campos y campos de característica cero.

Primero definimos un tipo especial de elemento de $G$: supongamos que $(g-1)^3=0$, $gxg^T=x$, $g_{2,2}=0$. A continuación, un cálculo de la muestra $$g=g(t) =\begin{bmatrix} 4 & t^2/8 & t \\ 8/t^2 & 0 & 0 \\ -8/t & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

En particular, estos elementos están parametrizados por $K^\times$ donde $K$ es el campo. Obviamente $g(t)$ es unipotentes, así que si $K$ tiene carácter $p$, $g(t)$ se encuentra en algunas Sylow $p$-subgrupo.

Si un subgrupo contiene tanto $g(s)$$g(t)$, entonces también debe contener$g(s) \cdot g(t)$$g(s) \cdot g(t) \cdot g(s)$. Sin embargo, un (a largo y tedioso) cálculo muestra que si tanto $g(s)\cdot g(t)$ $g(s) \cdot g(t) \cdot g(s)$ son unipotentes, a continuación,$s=t$.

Por lo tanto, un unipotentes subgrupo contiene en la mayoría de los una de $g(s)$ o $g(t)$.

No he mostrado, en general, que cada máxima unipotentes subgrupo distinto de los dos estándares (positivo y negativo de la raíz de los subgrupos) contiene un $g(t)$, pero como ya se sabe el recuento, que se hacen: hay dos estándar máxima unipotents y, a continuación, uno para cada una de las $t \in K^\times$, es decir, el que contiene a $g(t)$.

El estándar máxima unipotentes subgrupos definidos por $g_{12}=0$ (el nivel más bajo) y $g_{21}=0$ (la parte superior del estándar).

Definir $$ g^+(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ t^2/2 & 1 & t \\ t & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad g^-(t) = \begin{bmatrix} 1 & t^2/2 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 \end{bmatrix} $$

A continuación, se comprueba $g^+(s) \cdot g^+(t) = g^+(s+t)$ $\{ g^+(t) : t \in K \}$ es un unipotentes subgrupo, que es máxima al considerar el rango de $O_3(K)$. Del mismo modo $\{ g^-(t) : t \in K \}$ es la máxima unipotentes subgrupo.

Sería bueno tener una similar parametrización de los elementos de la máxima unipotentes subgrupos que contengan $g(t)$. Esto daría una buena descripción de todos los unipotentes elementos en el grupo.

En cualquier caso, la descripción es que cada máxima unipotentes subgrupo de $O_3(K)$ contiene exactamente uno de los siguientes elementos (que son los generadores de la si $K$ es un campo de primer orden):

$$ g^+(1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad g^-(1) = \begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad\text{ o } g(t), t \K^\times $$

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