Deje $p>4$ primo, y vamos a $G=GL_2(\mathbb{F}_p)$, $H=O_3(\mathbb{F}_p)$, y $K=Sp_4(\mathbb{F}_p)$.
Sabemos que $|G|=p(p-1)^2(p+1)$, por lo que un Sylow $p$-subgrupo de $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. De hecho, hay $p+1$ dichos subgrupos. Podemos escribir un generador para cada uno de ellos?
También sabemos que $|H|=2p(p+1)(p-1)$, por lo que un Sylow $p$-subgrupo de $H$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Hay también $p+1$ subgrupos, y podemos escribir generadores?
Finalmente, sabemos que la $|K|=p^4(p-1)^2(p+1)^2(p^2+1)$. ¿Cuál es el isomorfismo de la clase de Sylow $p$-subgrupo de $K$, cuántos hay, y podemos escribir generadores y relaciones?
Recuerdo que resolver la primera pregunta, la participación de $G$, pero la solución que se me escapa en este momento. Los otros dos son extensiones estándar de la primer problema con el que también estoy interesado en el.
Cualquier referencia y/o solución parcial es de agradecer. Gracias!
Edit: para responder A los comentarios, me gustaría ser capaz de escribir explícitamente abajo de las matrices que generan los subgrupos, uno para cada subgrupo. Como se señaló por Tobias, la matriz:
$$\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$$
para $a\ne 0$, genera una Sylow $p$-subgrupo de $G$, así que me gustaría encontrar a $p$ más de matrices de orden $p$ que generan distintos subgrupos. Estas matrices deben ser indexados por nuestro campo de $\mathbb{F}_p$. Ellos están determinados a ser conjugados de la anterior matriz, pero dos arbitraria conjugados puede generar el mismo subgrupo.
Edit 2: he resuelto el problema de $G$. Aquí está una lista de generadores de la $p+1$ Sylow $p$-subgrupos de $G$:
$$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2&a\\-a^{-1}&0\end{pmatrix}$$
donde $a=1,\ldots,p-1$. Cada matriz es de orden $p$, y genera un subgrupo distinto.