Ayuda con el diagrama de perseguir

Question

Dado el diagrama de $\require{AMScd}$ \begin{CD} 0 @>>> A @>f>> B @>g>> C @>>> 0 \\ @. @V\alpha VV \#@V\beta V V\# @VV\gamma V @. \\ 0 @>>> {A'} @>>{f'}> {B'} @>>{g'}> {C'} @>>> 0\\ \end{CD} donde $\alpha,\gamma$ son monic y las filas son exactas. Demostrar que también se $\beta$ es un monomorphism.

En R-Mod este es bastante sencillo: dado $\beta(b)=0$, muestran que $b=0$; $g(b)=0\Rightarrow \exists a\in A: f(a)=b\Rightarrow f'\alpha(a)=0\Rightarrow a=0$.

Pero, ¿cómo hacer esto usando sólo las propiedades universales (de cero elementos, kernels, etc)?

Answer 1

Tomar un morfismos $T \to B$ tal que $T \to B \to B'$ es cero. Tenemos que mostrar que $T \to B$ es cero. $\require{AMScd}$ \begin{CD} @.T@=T\\ @.@VVV\#@VVV\\ 0 @>>> A @>f>> B @>g>> C @>>> 0 \\ @. @V\alpha VV \#@V\beta V V\# @VV\gamma V @. \\ 0 @>>> {A'} @>>{f'}> {B'} @>>{g'}> {C'} @>>> 0\\ \end{CD} Por la conmutatividad del diagrama de la morfismos $T \to B \to C \to C'$ es cero, por lo tanto los morfismos $T \to B \to C$ es cero, ya que $C \to C'$ es monic.

Pero esto muestra que $T \to B$ factores $T \to A \to B$ y por conmutatividad tenemos que $T \to A \to A' \to B'$ es cero. Desde $A \to A' \to B'$ es monic, podemos deducir que $T \to A$ es cero, por lo tanto el resultado.

Lo que, de alguna manera, aquí la mano: me mostró la exactitud de la serpiente lema de la secuencia exacta en $ker(\beta)$.