Considere la posibilidad de la habitual estructura de la célula en $\mathbb R P^2$, con un 1-célula y una 2-celda conectado a través de un mapa de grado 2. Considerar el espacio $X$ obtenido por el encolado de una banda de Möbius a lo largo de la 1-célula a través de un homeomorphism con su límite de círculo. El uso del teorema de van Kampen, creo que puedo mostrar que el grupo fundamental de este espacio es $\mathbb Z/2 * \mathbb Z/2$. Sin embargo, me gustaría saber cuál es su cobertura universal, y el de la cubierta de las transformaciones. He intentado pegar esferas y tiras de Möbius en varias configuraciones, pero hasta el momento no han tenido éxito. Alguna sugerencia?
Respuesta
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Deje $M$ ser la banda de Möbius y deje $D$ $2$- celda de $RP^2$. A continuación, $X$ es el resultado de encolado $M$ $D$a lo largo de un mapa de $\partial D\rightarrow \partial M$ grado $2$. Por lo tanto $\pi_1(X)$ tiene un único generador,$\gamma$, que proviene de la inclusión $M\rightarrow X$, y el adjunto de disco $D$ mata a $\gamma^4$, por lo tanto $\pi_1(X)\cong {\mathbb Z}/4$. Como alternativa, tomar el homotopy $M\times I\rightarrow M$ que se reduce la banda de Möbius a su círculo central de $S\subset M$; esto le da un homotopy de $X = M\cup D$ a el espacio de ${\mathbb S}^1\cup_f D$ donde $f\colon \partial D\rightarrow {\mathbb S}^1$ es un mapa de grado $4$.
La universalización de la cobertura del espacio de ${\mathbb S}^1\cup_f D$ se describe en Hatcher Ejemplo 1.47, y es el homeomórficos para el cociente de $D\times\{1,2,3,4\}$ por la relación $(x,i)\sim (y,j)$ fib $x=y$$x\in \partial D\times \{i\}$.
Ahora vamos a $D$ el valor de cerrado de la unidad de disco en ${\mathbb R}^2$. La universalización de la cobertura del espacio de $X$ es homeomórficos para el cociente de $D\times \{a,b,c,d\}\cup S^1\times [-1,1]$ por las relaciones
- $(x,a)\sim (x,b)\sim (x,1)$ todos los $x\in S^1 = \partial D$
- $(x,c)\sim(x,d)\sim (x,-1)$ todos los $x\in S^1=\partial D$
y $\pi_1(X)\cong {\mathbb Z}/4$ actúa de la siguiente manera:
- $(re^{2\pi i\theta},a)\to (re^{2\pi i(\theta + 1/4)}, c)\to (re^{2\pi i(\theta+1/2)},b)\to (re^{2\pi i (\theta + 3/4)},d)\rightarrow (re^{2\pi i\theta},a)$ de los puntos en los discos de $D\times \{a,b,c,d\}$
- $(e^{2\pi i \theta},t)\to (e^{2\pi i (\theta+1/4)},-t)\to (e^{2\pi i (\theta + 1/2)},t)\to (e^{2\pi i(\theta + 3/4)},-t)\rightarrow (e^{2\pi i \theta},t)$ de los puntos en $S^1\times [-1,1]$.
y el mapa de $\tilde{X}\rightarrow X$ envía los cuatro discos en el disco y el cilindro a la banda de Möbius.
