Cortar un rectángulo en un número impar de piezas congruentes

Question

Estamos interesados en mosaico de un rectángulo con las copias de una sola pieza (rotaciones y reflexiones que siguen están permitidos). Esto es muy fácil de hacer, por cortar el rectángulo en rectángulos más pequeños.

¿Qué sucede cuando pedimos que las piezas no sean rectangulares?

Para un número par de piezas, esto es fácil de nuevo (lo cortamos en rectángulos, y luego cortar cada rectángulo en dos a través de su diagonal. Otros apuntados también son fáciles de encontrar).

La interesante (y difícil) el caso es de baldosas con un extraño número de no-rectangulares piezas.

Algunas preguntas:

• Puede dar ejemplos de tales apuntados?
• ¿Cuál es la menor (impar) número de piezas para las que es posible?
• Es posible que cada número de piezas? (por ejemplo, con cinco)

Existen dos versiones principales del problema: la polyomino caso (cuando las tejas son de la unidad de plazas), y el caso general (cuando las tejas se pueden tener cualquier forma). Las respuestas a las preguntas anteriores pueden ser diferentes en cada caso.

Parece que es imposible hacer con tres piezas (tengo algún tipo de prueba), y el menor número de piezas que pude obtener es de $15 dólares, como se muestra arriba:

Este problema es muy útil para pasar el tiempo cuando asisten a algún aburrido hablar, etc.

Answer 1

Golomb del libro Polyominoes tiene una sección en este. Llame a la más pequeña sea impar el número de copias de un polyomino que puede revestir un rectángulo de su "extraño". A continuación, Golomb dice que hay polyominoes de orden impar 1, 11, y 15+6t para todos $t \ge 0$. El polyomino de la extraña orden de 11 es debido a Klarner [1], y se ilustra aquí por Michael Reid.

Reid tiene un montón de fotos de embaldosados de los rectángulos con polyominoes. En particular, el 15+6t de la familia puede ser visto: aquí se polyominoes con impar-orden de 15, impar-orden de 21, impar-orden de 27, y así sucesivamente. Reid ha demostrado [3] que otros extraños existe la orden, incluyendo 35, 49, y 221, pero no sé si hay un patrón general.

Finalmente, Stewart y Wormstein [2] demostró que polyominoes de orden 3 no existen. (Stewart libro Otra Multa de Matemáticas Me tienes En sugiere que Wormstein es un personaje de ficción.)

[1] David A. Klarner, el Embalaje de un rectángulo con congruente N-ominoes, J. Combinat. Teoría 7 (1969) 107-115, [2] Stewart, Ian N. y Wormstein, Albert. Polyominoes de orden 3 no existen. J. Combinat. La Teoría De La Serie 61 (1992) 130-136.
[3] Michael Reid. Suelo de baldosas de Rectángulos y la Mitad de las Tiras con Congruente Polyominoes. J. Combinat. La Teoría De La Serie 80 (1997) 106-123.

Answer 2

Estoy publicando el 11 piezas de la solución se muestra en el artículo citado por Michael (que no está libremente disponible en línea).

Este es el más pequeño que se conoce el número de piezas. Algunas observaciones:

• La pregunta es abierta para 5, 7, o 9 piezas. Consigue tus lápices!
• Todo lo que hasta ahora es con polyominoes. Cualquier sugerencia con formas más complicadas?
• A diferencia de la otra solución que he publicado, este no puede cambiar de tamaño a lo largo de la $x$ o $y$ eje.

Answer 3

Ok. Es fácil ver que el rectángulo no puede ser cortado en número impar de igualdad de triángulos: Monsky demostrado [aquí] que un cuadrado no puede ser cortado en un número impar de triángulos con áreas iguales. Pero si tenemos rectángulo dividido en número impar de igualdad de triángulos, se podría reducir en una dirección y obtener un cuadrado dividido en un número impar de triángulos con áreas iguales - contradicción.

Actualización: Si la ficha podría ser cortado en número impar de triángulos con la misma área, entonces obvio que el rectángulo no puede ser cortado en número impar de dichas fichas. Ejemplo: