Puede que este número de la teoría de MCQ ser resuelto en 4 minutos?

Question

El Problema: ( 2⁷⁰ + 3⁷⁰ ) es divisible por el número que? [ 5, 13, 11 , 7 ]

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El uso de Fermat poco teorema tomó más que el doble del indicado plazo. Pero me gustaría resolver rápidamente como me estoy preparando para un examen, que nos obligaría a resolver cada uno de Mcq para ser resuelto en 4 minutos en promedio.

Gracias de antemano.

Answer 1

$a+b$ divide $a^{2n+1}+b^{2n+1}$ así que la respuesta es $2^2+3^2=13$, ya que el $2^{70}+3^{70}=4^{35}+9^{35}$.

Answer 2

Si está seguro de que exactamente un divisor en su lista de trabajo, entonces usted puede utilizar los trucos dar por el resto de los encuestados. Si usted quiere ser capaz de calcular la divisibilidad en general, usted puede usar la constante específica de trucos para acelerar las cosas, pero esto dependerá de la velocidad con la aritmética, su memorización de diferentes potencias, etc, para hacer que se vaya rápido.

Ejemplo: $2^{70} \bmod 5$. Sabemos que $2^{2} = -1 \bmod 5$, lo $2^{70} = -1$. Que solo toma unos pocos segundos sin necesidad de papel. Ahora $3^2 = -1 \bmod 5$ $3^{70} = -1 \bmod 3$ también. Por lo tanto,$2^{70} + 3^{70} = -2 \bmod 5$.

Se hace más difícil para los otros divisores, pero se puede hacer dentro de 4 minutos.

Answer 3

Además de darse cuenta de $\ 2^2+3^2\ |\ 2^{70}+3^{70}\ $ aquí es otra forma más rápida. $\:$ Mod $\rm\:m = 5,7,13\:$ tenemos $\rm\: x\not\equiv 0\ \Rightarrow\ x^{12} \equiv 1\ \Rightarrow\ x^{70}\equiv x^{-2}\:.\ $ $\rm\ 2^{70} + 3^{70}\equiv 1/4 + 1/9 \equiv 13/36\equiv 0\iff m = 13\:.$

Answer 4

Si usted se olvida de FLT, usted puede buscar para el ciclo: $\pmod 5, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=3, 2^4=1, \text{ so } 2^{70}=2^{68}2^2=4$ y así sucesivamente. No es elegante, pero eficaz, y probablemente en el tiempo.