El teorema de nulidad de rango establece que para los espacios vectoriales $V$ y $W$ con $V$ de dimensión finita, y $T: V \to W$ un mapa lineal,
$$\dim V = \dim \ker T + \dim \operatorname{im} T.$$
¿Esto es válido para una dimensión infinita $V$ ? Según este La afirmación es falsa. Pero según este En la página 4, la afirmación sigue siendo cierta. Estoy completamente confundido.
La fórmula del rango también es válida en infinitas dimensiones, tanto si se utiliza la aritmética cardinal para las dimensiones, como si se dice simplemente $\infty + n = \infty$ y $\infty + \infty = \infty$ (pero hay que utilizar la aritmética cardinal). La prueba es básicamente la misma que en el caso de dimensión finita, se elige una base $\mathcal{B}_1$ de $\ker T$ , una base $\mathcal{B}_2$ de $\operatorname{im} T$ , dejemos que $\mathcal{B}_3$ consisten en preimágenes de los elementos de $\mathcal{B}_2$ (elija una preimagen por elemento), entonces $\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_3$ es una base de $V$ . En el caso de dimensión infinita, se requiere alguna forma del axioma de elección, mientras que el caso de dimensión finita puede demostrarse sin eso.
Puedes entonces explicar lo que dice el primer enlace, cuando pide dar un contraejemplo para cuando $V$ es de dimensión infinita.
Hmmm... pueden surgir algunos problemas con la interpretación de "es verdad", @Daniel. Lee mi respuesta para ver lo que quiero decir.
@DonAntonio En realidad, no entiendo lo que quieres decir. La equivalencia de la inyectividad y la subjetividad de los endomorfismos es, por supuesto, una especialidad de la situación finito-dimensional. Pero la fórmula del rango sólo dice $$\dim V = \dim \ker T + \dim \operatorname{im} T,$$ no dice nada sobre la subjetividad.
De hecho, podría haber algún problema, ya que $\dim V$ es indefinido si $V$ no es de dimensión finita. A menos que se quiera identificar $\dim V$ con la cardinalidad de cualquiera de sus bases, es decir. Pero entonces habría que definir también las operaciones algebraicas con cardinalidades para dar sentido al término $\dim \ker T + \dim \text{im} T$ Y esto es complicado. (Ni siquiera sé si es posible de alguna manera significativa).
En cambio, en el caso general (tanto de dimensión finita como infinita) se puede utilizar el siguiente resultado: el mapa $\tilde T$ definido por $$ \tilde{T}(v+\ker T):=T(v), $$ es un isomorfismo de espacio vectorial de $V/\ker T$ en $\text{im}(T)$ . En el caso de dimensión finita, el teorema de nulidad de rango es un corolario inmediato.
Es posible: hay Aritmética Cardinal . La suma se define simplemente como la cardinalidad de la unión de dos conjuntos de las cardinalidades que se van a sumar.
@YourAdHere Esa definición es verdadera en espíritu, pero un poco problemática para los cardinales finitos. Si construyes los cardinales como ordinales específicos de von-Neumann, tienes $\mathbb{n} \subset \mathbb{n+1}$ (donde $\mathbb{n}$ es el $n$ -ésimo cardinal finito), y por lo tanto $\mathbb{n} + (\mathbb{n+1}) = \mathbb{n+1}$ . Pero eso no es lo que quieres...
En el caso finito, para un operador $\;T:V\to V\;$ el teorema de la dimensión dice que
$$T\;\;\text{is surjective}\;\implies \dim\ker T=0\iff \ker T=\{0\}$$
Pero si definimos
$$V:=\left\{\{x_n\}_{n\in\Bbb N}\subset\Bbb R\right\}\;,\;\;T:V\to V\;,\;\;T\{x_1,x_2,...\}:=\{x_2,x_3,...\}$$
entonces claramente $\;T\;$ es sobre, sin embargo
$$\ker T:=\left\{\{x_n\}\in V\;;\;x_i=0\;\;\forall\,i\ge 2\right\}\neq\{0\}$$
Lo que has demostrado es que existen mapas lineales entre espacios de dimensión infinita que no son uno a uno. Esta no era mi pregunta.
No @user142870, creo que he demostrado que una deducción directa del teorema de la dim. en el caso de la dim. finita es no cierto en el infinito dimensional... y también lo que tú dices, por supuesto.
Estás utilizando tu propia versión del teorema de la dimensión para explicar por qué es falso. De nuevo, por favor, mira mi declaración del teorema de la nulidad de rango que escribí.
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¿De dónde deduces que en tu segundo enlace, página 4, se dice que el teorema se mantiene como en el caso de dimensión infinita?
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@DonAntonio Dice que si $V$ es de dimensión infinita, una de $N(T)$ y $T(V)$ es de dimensión infinita, en cuyo caso la ecuación sigue siendo válida.
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¿Dónde dice que "la ecuación sigue siendo válida", @usuario142870 ?
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@DonAntonio Si $\dim V = \dim ker T + \dim im T$ en el caso de dimensión infinita, tenemos $\infty = \dim N(T) + \dim T(V)$ . Uno de $N(T)$ y $T(V)$ es de dimensión infinita, por lo que $\infty = \infty + n$ donde $n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ . ¿Puede explicar qué hay de malo en mi razonamiento?
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Eres consciente de que hay varios tipos de infinito, ¿verdad? Así que también podría ser $\;\infty=\infty+\infty\;$ ...
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Ahh una pregunta muy frustrante. El hecho de que dos usuarios reputados den respuestas contradictorias tampoco ayuda.
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Bueno @usuario, he intentado abordar el conflicto entre los dos enlaces que has puesto. En último análisis, y basándome en lo que usted escribió, debo decir que estoy de acuerdo con Daniel: como eso, el teorema sigue siendo cierto en dimensión infinita. Piensa también en el hecho de que usamos ese teorema muchos veces para deducir cosas sobre la dimensión de la imagen o del núcleo de una matriz/operador, lo que podría resultar totalmente inútil en el caso de dimensión infinita.