Pues bien, el grupo aditivo de $\mathbb{Z}[x,y]/(x^2 - y^n)$ no es más que un grupo abeliano libre sobre los generadores $1,x, y, xy, xy^2, xy^3,\ldots$ - es decir, el grupo abeliano libre con un número contable de generadores, que es independiente de $n$ .
Por lo tanto, $m,n$ puede ser cualquier cosa.
Básicamente, el $\mathbb{Z}$ -módulo $\mathbb{Z}[x,y]$ está generado por todos los monomios con coeficiente 1, es decir, $1, x, y, x^2, y^2, xy, x^3, y^3, x^2y, xy^2,\ldots$ . La relación $x^2 - y^n$ sólo permite sustituir cualquier $x^k$ que ves con $x^{k-2}y^n$ (para $k\ge 2$ ). Sin embargo, en ambos casos se acaba teniendo un número contablemente infinito de generadores (y, por tanto, un rango contablemente infinito), y puesto que un grupo abeliano libre está determinado hasta el isomorfismo por su rango, son isomorfos.
Si estás hablando de anillo isomorfismos, entonces Potato tiene razón - si $n\ne m$ entonces los dos anillos no son isomorfos.
Sea $R_n = \mathbb{Z}[x,y]/(x^2 - y^n)$ .
En cuanto a por qué no son isomorfos como anillos, me parece una pregunta bastante profunda, y creo que la mejor explicación es a través de la geometría algebraica. Esencialmente, el polinomio $x^2 - y^n$ define una curva $C_n$ en el plano (es decir, el conjunto de puntos (a,b) donde $a^2 - b^n = 0$ ). Estas curvas $C_n$ están definidos biracionalmente por sus campos de funciones, que en este caso es simplemente el campo cociente de su anillo $R_n$ . Si los anillos $R_n,R_m$ son isomorfas, entonces sus campos cocientes también deben ser isomorfos, y por tanto las curvas $C_n,C_m$ que definen deben ser biracionalmente equivalentes. Sin embargo, puede calcularse mediante la fórmula de Riemann-Hurwitz sobre la función de coordenadas $y$ visto como una función de su curva a $\mathbb{P}^1$ que la curva asociada a $R_n$ tiene género geométrico $(n-1)(n-2)/2$ (siempre que $n\ge 1$ (véase el ejercicio 2.7 en el libro de Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves"), que al ser un invariante birracional, le dice que los campos de funciones para sus curvas $C_n,C_m$ no son isomorfas para $n\ne m$ y, por tanto $R_n, R_m$ tampoco podrían ser isomorfas.
Por último, es fácil ver que $R_0$ no es isomorfo a $R_n$ para cualquier $n\ge 1$ desde $R_0$ tiene elementos nilpotentes, y $R_n$ para $n\ge 1$ no lo hace.
Se me ocurren algunas otras ideas de pruebas, pero esencialmente todas se basan en alguna forma de geometría algebraica. Muchas de estas ideas se podrían expresar de forma puramente teórica, pero parecerían complicadas y carecerían de toda motivación si no se explicara la conexión con la geometría.
