¿Cómo interpretar la derivada del potencial delta de Dirac?

Question

Me encontré con un Hamiltoniano que contiene la derivada del potencial delta de Dirac:

Para ello utilizamos un método descrito en [9]. Definimos un Hamiltoniano formal $$ \tag{2}\tilde{H}_{abcd}=-\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}+a\delta\left(x\right)+b\delta'\left(x\right)+c\delta\left(x\right)\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}+d\delta'\left(x\right)\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} $$

Es sorprendente ver términos como $b \delta'(x)$ ¿Cómo se debe interpretar $ \delta'(x)$ ?

Answer 1

$\delta'$ es la densidad de carga que genera un dipolo. Es decir, la densidad de carga de dos cargas puntuales cercanas de magnitudes iguales y opuestas en el límite a medida que se acercan más y más la una a la otra.

Imagínese que aproxima la función delta con una función de protuberancia suave, y queda claro lo que sucede.

Answer 2

Toma esto $\delta '(x)$ y aplicar en una función arbitraria $f(x)$ .

$$ \int_{a}^{b} \delta'(x) f(x)\ \mathrm{d}x = f(x) \delta(x) |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \delta(x) f'(x)\ \mathrm{d}x = -f'(0) $$

Entonces $ \delta '(x) \rightarrow -\delta (x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ .

Answer 3

El significado físico de un potencial parecido a la función Delta es un potencial que actúa sólo cerca del origen $x = 0$ y en el resto del eje la partícula es gratis . He visto cómo se utilizan estas barreras de potencial en la física nuclear.

Un potencial como la derivada de la función Delta, $\delta '(x)$ es una aproximación de un potencial que a lo largo de todo el $x$ eje es cero y sólo cerca del origen muestra una capa muy fina, aunque infinitamente alta, barrera potencial , seguido de un pozo potencial muy profundo . Más que eso, su libro debería explicar por qué esta forma era conveniente para ellos. Sobre el tratamiento de este potencial, la integración por partes, o las transformadas de Fourier, le ayudarán a deshacerse de estas desagradables funciones. Se puede trabajar, por ejemplo, en la representación lineal del momento.

Answer 4

Para (la mayoría) de los propósitos físicos, se puede pensar con seguridad en la función delta de Dirac $\delta(x-x_0)$ como alguna función que no se desvanece sólo alrededor de $x_0$ y con la propiedad de que su integral está normalizada a uno: $$ \tag{1} \int dx \,\delta(x) = 1.$$ Con esto quiero decir que se puede pensar que el delta es un adecuado que satisface la función (1) y que no se desvanezca sólo en un estrecho $^\dagger$ intervalo alrededor de $x_0$ .

Entonces, teniendo en cuenta este punto de vista, ¿qué es $\delta'(x)$ ? Nada más que la derivada "habitual" de cualquier función $\delta(x)$ es. Y este es el punto crucial: no sabemos qué $\delta$ realmente parece aparte de la localización y la propiedad integral, por lo que mientras no haya problema en definir su derivada, no sabemos qué aspecto tiene .

¿Cómo podemos utilizarlo? Pues resulta (como se muestra en la otra respuesta) que cuando $\delta'(x)$ aparece en una integral con otra función podemos "transferir" (integrando por partes) la derivada a la otra función, y seguir con seguridad el cálculo.

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$^\dagger$ lo que significa que es menor que todas las demás cantidades físicas que intervienen en el cálculo dado

Answer 5

$\delta'(x)$ es un barrera invariante de escala donde la matriz S y los desplazamientos de fase no dependen del momento.

Un artículo divulgativo reciente es Interacciones puntuales: condiciones de contorno o potenciales con la función delta de Dirac (De Vincenzo - Sánchez) Canadian Journal of Physics 10/2010; 88(11):809-815. DOI: 10.1139/P10-060 Otra referencia interesante puede ser http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406158 donde se argumenta que la parametrización tiene cierta libertad de calibre.

Pero si quieres una interpretación, por lo que argumentan a mirar como un objeto de escala invariable. Ya el punto de ser apoyado en un solo punto implica alguna propiedad divertida bajo la escala, ya que debe ser mapeado hacia otra interacción que tiene apoyo en un punto, por lo que puede adivinar todas las familias hará para puntos fijos agradables y líneas de renormalización en el espacio de los potenciales con soporte compacto. Además, el $\delta'$ se puede argumentar que tiene dimensiones de longitud inversa al cuadrado, lo mismo que el término cinético, y por lo tanto cierta invariancia de todo el hamiltoniano bajo escala $x \to \lambda x$ se puede esperar.

En efecto, si se aplican las fórmulas de la primera referencia a $V(x) = g_2 \ \delta'(x)$ se obtienen condiciones

$$ u(0^+) =\mu \ u(0^-), \ \ \mu\, u'(0^+) = u'(0^-)$$

que permiten resolver el $S$ -matriz, o si lo prefieres el coeficiente de Transmisión y Reflexión. Ahora por ejemplo para la onda de la izquierda tendremos en $0^-$ la suma de la incidencia y la reflexión: $$u_k(0^-)= e^{ikx}+ e^{-ikx} R^l = (1 + R^l) $$ y su derivado $$u'_k(0^-)= ik (e^{ikx} - e^{-ikx} R^l) = ik (1 - R^l)$$ y de forma similar en $0^+$ la onda transmitida $$ u_k(0^+)= e^{ikt} T^l = T^l, \ u'_k(0^+)= ik e^{ikt} T^l = ik T^l$$

para que veas la magia de esta condición límite en particular: el $ik$ factores pueden cancelarse y los coeficientes de transmisión y reflexión no dependen de $k$

$$ \mu T^l = (1-R^l), T^l = \mu (1+R^l)$$

Una referencia moderna que relaciona las derivadas delta con la dispersión es http://iopscience.iop.org/0305-4470/36/27/311 "Sobre la existencia de resonancias en la probabilidad de transmisión para las interacciones que surgen de las derivadas de la función delta de Dirac"