Por lo general se estudia análisis en $\mathbb{R}^n$ después de estudiar el análisis en $\mathbb{R}$. ¿Por qué la misma no puede ser dicho $\mathbb{C}$?
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¿Demasiados anuncios?
Yo diría que la principal razón por la que varias variables complejas es rara vez visto en el plan de estudios de pregrado (y aún no muy a menudo en el plan de estudios de graduado, a menos que el departamento tiene algunos especialistas en el SCV) es que usted no puede ir muy lejos sin un montón de requisitos previos.
Por ejemplo, puedes empezar por probar de Cauchy de la integral fórmula para un polydisc, y de que el teorema de Liouville y algunos otros conocidos los resultados de una variable compleja rápidamente siga.
De Cauchy de la integral forumla, se desprende también que holomorphic funciones de varias variables admitir el poder de la serie de expansiones (pero el dominio de convergencia no es generalmente una bola en $\mathbb{C}^n$: comparar $\sum_{j,k} z^j w^k$, $\sum_{k} (z+w)^k$ y $\sum_{k} z^k w^k$ para un par de ejemplos de lo que podría suceder). Desde aquí se puede seguir y estudiar de forma logarítmica convexo Reinhardt dominios.
Nota, sin embargo, que la mera definición de holomorphic función en varias variables es un poco problemático. Quiere decir que una función es holomorphic si se está de holomorphic en cada variable por separado, pero para demostrar que esto es equivalente a la de otras plausible definiciones (sin suponiendo que la función es, por ejemplo, localmente delimitado o conjuntamente continua) es sorprendentemente difícil.
Incluso se puede llegar tan lejos como muestra de una versión de Hartogs' extensión del teorema: Si $\Omega$ es un dominio en $\mathbb{C^n}$ y $K$ es un subconjunto compacto tal que $\Omega \setminus K$ es conectado, cada holomorphic función $\Omega\setminus K$ extiende a $\Omega$. (Aquí $n > 1$, por supuesto).
Creo que esto es acerca de qué tan lejos puede llegar, sin llevar en herramientas de la PDE, teoría potencial, álgebra (teoría de la gavilla), análisis funcional, geometría diferencial, la teoría de la distribución y, probablemente, algunos de los campos más.
El gran punto a destacar en un primer curso en varias variables complejas es por lo general para resolver el Levi problema, es decir, para caracterizar los dominios de la existencia de holomorphic funciones. (Hartogs' extensión del teorema muestra que algunos dominios no son naturales para el estudio, ya que todos los holomorphic funciones se extienden a un dominio más grande.) Esto se hace generalmente con Hörmanders $L^2$-solución de los $\bar\parcial$-ecuación. (O a través de la gavilla de la teoría a la Oka.) Aunque no es estrictamente necesario tener un moderno PDE curso, como requisito previo, es ciertamente valioso. A menos que usted necesita saber algunos análisis funcional (y preferentemente con algo de teoría potencial), incluyendo algunos de la exposición unbounded operadores lineales en espacios de Hilbert para ser capaz de entender la Hörmander solución. (Por la gavilla de la teoría de la solución, se necesita un saludable de fondo en el álgebra en su lugar.)
Del mismo modo, usted necesita algunos geometría diferencial (al menos la familiaridad con las formas diferenciales y tangente paquetes) para entender el más complicado integral forumlas como Bochner-Martnielli la fórmula y los aspectos geométricos de pseduoconvexity, que es central para una comprensión más profunda de SCV. De hecho, la interacción entre la compleja geometría del dominio y la correspondiente función de la teoría es una regresado tema en el SCV. Teoría de la función estrictamente pseudoconvex dominios, por ejemplo, parecen bastante diferente de la función de la teoría en la débilmente pseudoconvex dominios. (Muchos de los puntos más finos sobre débilmente pseudoconvex dominios son todavía problemas abiertos.)
Resumiendo, para hacer un verdadero significativa curso en el SCV, usted realmente necesita más de fondo de lo que es razonable esperar de un estudiante universitario. Después de todo SCV es realmente un siglo 20 campo de las matemáticas! El Levi problema, por ejemplo, no fue resuelto hasta principios de la década de los años 50 (Hörmander la solución es tan tarde como el año 1965).
user8269
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Jasper
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Usted necesita saber los conceptos de análisis en $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$, incluyendo el poder de la serie, derivadas, integrales de línea, funciones, geometría analítica y topología básica de los reales (métrica) espacios antes de hablar acerca de las funciones analíticas de $\mathbb C$ a $\mathbb C$. Esa es la principal razón por la que usted vea el análisis en espacios reales antes de llegar a análisis en $\mathbb C$. $\mathbb R^2$, con coordenadas cartesianas y coordenadas polares es de $\mathbb C^1$. Y, por supuesto, hacer $\mathbb C^1$ antes del análisis en las dimensiones superiores de $\mathbb C$-espacios.
