La suma de los recíprocos de que el producto de números enteros consecutivos

Question

Es bien sabido que hay un cerrado fórmula:

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n)(n + 1)}$$

Y de la misma manera:

$$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n)(n + 1)(n+2)}$$

Me pregunto si hay un cerrado fórmula:

$$f(n, k) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\prod_{j=0}^k (i + j)}$$

Tenga en cuenta que poner $k = 1$ $k = 2$ en la anterior función de los rendimientos de los dos anteriores de la serie.

Answer 1

Bueno, yo creo que no hay. Aquí está mi resultado:

$$\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac1{\displaystyle \prod_{j=0}^k (i+j)} = \frac1{k \cdot k!} \left [ 1 - \frac1{\displaystyle\binom{n+k}{k}} \right ] = \frac1{k} \left [\frac1{k!} - \frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}\right ]$$

Este resultado se verifica para todos los valores de $k$ $n$ me han enchufado en Mathematica. Se reduce a un resultado conocido en el límite de $n \to \infty$.

El lado derecho es un resultado de la siguiente expansión, la cual puede ser comprobada mediante recursiva parcial fracción de descomposición:

$$\frac1{\displaystyle \prod_{j=0}^k (i+j)} = \frac1{k!} \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \frac1{i+j}$$

Reordenando, obtenemos la forma más conveniente:

$$\frac1{\displaystyle \prod_{j=0}^k (i+j)} = \frac1{k!} \sum_{j=0}^{k-1} (-1)^j \binom{k-1}{j} \left (\frac1{i+j}-\frac1{i+j+1} \right )$$

Ahora es fácil suma más de $i$; podemos, después de la reorganización de nuevo:

$$\sum_{i=1}^n\frac1{\displaystyle \prod_{j=0}^k (i+j)} = \frac{n}{k \cdot k!} \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(-1)^{j-1}}{j+n} \binom{k}{j} $$

Esta suma se evalúa mediante la definición de

$$f(x) = \sum_{j=1}^{k} \frac{(-1)^{j-1}}{j+n} \binom{k}{j} x^{j+n} $$

A continuación, podemos diferenciar e invocar el teorema del binomio:

$$f'(x) = x^{n-1} \sum_{j=1}^{k} (-1)^{j-1} \binom{k}{j} x^j = x^{n-1} \left [ 1-(1-x)^k\right ]$$

Podemos entonces concluir que

$$\sum_{j=1}^{k} \frac{(-1)^{j-1}}{j+n} \binom{k}{j} = \int_0^1 dx \, x^{n-1} \left [ 1-(1-x)^k\right ] = \frac1{n} - \frac{(n-1)! k!}{(n+k)!} $$

El declaró resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Aviso $$\begin{align} \frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k}(i+j)} = \frac{1}{k}\left(\frac{(i+k)-i}{\prod\limits_{j=0}^{k}(i+j)}\right) &= \frac{1}{k}\left[\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}(i+j)}-\frac{1}{\prod\limits_{j=1}^{k}(i+j)}\right]\\ &= \frac{1}{k}\left[\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}(i+j)}-\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}((i+1)+j)}\right]\end{align}$$ La suma puede ser recasted como un bastón telescópico. Esto lleva a $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k}(i+j)} = \frac{1}{k}\left[\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}(1+j)}-\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}((n+1)+j)}\right] = \frac{1}{k}\left[\frac{1}{k!} - \frac{n!}{(n+k)!}\a la derecha]$$