Una compañía de electrónica produce dispositivos que funcionan correctamente el 95% del tiempo

Question

Una compañía de electrónica produce dispositivos que funcionan correctamente el 95% del tiempo. Los nuevos dispositivos se envían en cajas de 400. La compañía aspira a garantizar que los k o más dispositivos por cuadro de trabajo. ¿Cuál es el más grande de k de modo que al menos el 95% de los cuadros de satisfacer la garantía?

Intento: Sé que debería utilizar el Teorema del Límite Central para este problema, pero no estoy seguro de lo que N debe ser en la instalación ya hay 400 dispositivos en cada cuadro y el número de cajas son desconocidos. Podría alguien darme una pista sobre el programa de instalación? Gracias!

Answer 1

Usted tiene que asumir los dispositivos en cualquier caja son independientes. Cuando ese es el caso, el número de dispositivos de trabajo en cualquier cuadro debe seguir una distribución Binomial. Los parámetros son los $400$ (el número de dispositivos en el cuadro) y $.95$ (la tasa).

Supongamos que garantiza $k$ o más dispositivos por cuadro de trabajo. Usted está diciendo que al menos el 95% de todas esas cajas contienen $k$ o más de los dispositivos de trabajo. En el lenguaje de las variables aleatorias y distribuciones, afirma que la posibilidad de un Binomio$(400, 0.95)$ variable igualando o superando $k$ al menos $95\%$. La solución se encuentra calculando el $100-95$ = quinto percentil de la distribución. La única parte delicada es que, dado que esta es una distribución discreta, se debe tener cierto cuidado de no ser uno de ellos fuera en nuestra respuesta.

R nos dice que el quinto percentil es $k=373$:

qbinom(.05, 400, .95)

373

Vamos a comprobar mediante el cálculo de la probabilidad de que igualan o superan este valor:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9520076

(Un poco chocante, al menos para mí, es que el lower.tail=FALSE argumento de R's pbinom función no se incluye el valor de su argumento. Por lo tanto, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE) calcula la probabilidad asociada con un resultado estrictamente mayor que k.)

Como un doble chequeo, vamos a confirmar que no podemos garantizar un valor mayor:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9273511

Por tanto, el umbral de $0.95$ se sitúa entre estos dos sucesivas probabilidades.

En otras palabras, hemos encontrado que

En el largo plazo $95.2\%$ de las cajas contendrán $k=373$ o más de los dispositivos de trabajo, pero sólo $92.7\%$ de ellos contendrá $374$ o más de los dispositivos de trabajo. Por lo tanto, no debemos garantía alguna de que más de $373$ si queremos $95\%$ o más de las casillas para cumplir con esta norma.

Por cierto, una distribución Normal resulta ser una excelente aproximación a esta pregunta en particular. (En lugar de mostrar la respuesta que iba a conseguir, lo voy a dejar a usted para hacer el cálculo, ya que la información solicitada sólo acerca de cómo configurar el problema).

Este gráfico compara la distribución Binomial función de su aproximación Normal de probabilidad.

Los dos no perfectamente de acuerdo,pero cerca de $k=373$ están muy cerca.

Answer 2

"Al menos" de "al menos el 95%" significa "min".

Código:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Resultados:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Cuando me miran, veo que el valor mínimo para la tasa es del 89%. Esto significa que en la mitad de un millón de intentos, en el peor de los casos fue de 89% de trabajo.

El 89% de 400 es de 356. Esto le da a alrededor de 100%, no del 95%. Es probable que el 100% es inferior a este.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

rendimientos:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93.25% de 400 es de 373. Esto no es una ventaja de los datos, sino interior, por lo que es probable que una buena estimación. Su respuesta va a ser cerca de 373.