Cómo calcular la integral
$$ \int_0^\infty \frac{1} {(1 + x ^ {\varphi}) ^ {\varphi}} \,dx$$
¿donde, $\varphi = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ es la proporción áurea?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Anthony Shaw
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Desde $\frac1\varphi=\varphi-1$,
$$
\begin{align}
\int_0^\infty\frac1{(1+x^\varphi)^\varphi}\,\mathrm{d}x
y=(\varphi-1)\int_0^\infty\frac{x^{\varphi-2}}{(1+x)^\varphi}\,\mathrm{d}x\etiqueta{1}\\[6pt]
y=(\varphi-1)\mathrm{B}(\varphi-1,1)\etiqueta{2}\\[6pt]
y=(\varphi-1)\frac{\Gamma(\varphi-1)}{\Gamma(\varphi)}\etiqueta{3}\\
&=\frac{\Gamma(\varphi)}{\Gamma(\varphi)}\etiqueta{4}\\[6pt]
Y=1
\end{align}
$$
Explicación:
$(1)$: sustituto $x\mapsto x^{\varphi-1}$ señalar que $\varphi(\varphi-1)=1$
$(2)$: $\int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{(1+x)^\beta}\,\mathrm{d}x=\mathrm{B}(\alpha,\beta\alpha)$
$(3)$: $\mathrm{B}(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$
$(4)$: $\alpha\,\Gamma(\alpha)=\Gamma(\alpha+1)$
Concrete Donkey
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Sugerencia: Hacer $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ y utilizar $\phi^2 = \phi + 1$ a simplificar aún más. El resultado final debe ser $1$.
$$ \int_0^{\infty} \frac{1} {(1 + x ^ {\phi}) ^ {\phi}} \,dx = \int_0^{\infty} \frac{x^{\phi^2}} {(1 + x ^ {\phi}) ^ {\phi}} \frac {dx} {x ^ 2} = \int_0^{\infty} \frac{x^{\phi - 1}} {(1 + x ^ {\phi}) ^ {\phi}} \,dx = \, \cdots$$
La antiderivada invoca una función hipergeométrica $$\int \frac{dx}{(1+x^{a})^{a}}=x \, _2F_1\left(\frac{1}{a},; 1+\frac{1}{a};-x^a\right) $$ Para la integral definida, como Omnomnomnom comentado, el resultado se expresa mediante la función gamma $$I(a)=\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^{a})^{a}} =\frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{a}\right) \Gamma \left (\frac{1}{a}\right)}{\Gamma (a)}$$ y $I(\phi)=1$ desde $\phi-\frac{1}{\phi}=1$ y $1+\frac{1}{\phi}=\phi$.
Sorprendentes son $I(2)=\frac{\pi} 4$, $I(6)=\frac{124729 }{559872}\pi$ e $I(\infty)=1$.
Ed Krohne
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