Son ciertas entero funciones bien definidas modulo diferentes de los números primos necesariamente polinomios?

Question

Llamar a una función $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ consistente si para cada prime $p$ e integer $a, b$, cuando se $a \equiv b \pmod p$$f(a) \equiv f(b) \pmod p$. El conjunto $C$ coherente de funciones es cerrado bajo la suma, la resta, la composición, la traducción, y de las diferencias finitas, y contiene todos los polinomios univariados. Qué $C$ contienen sólo univariante polinomios, es decir,$C = \mathbb Z[x]$?

Mi intuición es que este debe ser el caso. Desde $f$ es bien definidas $\mod p$ por cada prime $p$, entonces siento que $f$ debe ser definido con base sólo en el anillo de operaciones de forma genérica, por lo que la definición misma de $f$ (con anillo de operaciones) funciona para cualquier anillo de $\mathbb Z / p\mathbb Z$. Desde el anillo de operaciones incluyen sólo

• el uso de 0, 1, y la variable $x$,
• además,
• la multiplicación,

eso significaría que el $f$ debe ser un polinomio en $x$ con coeficientes enteros. Es este realmente el caso?

Answer 1

Considere la función

$$ f(z) = z \sum_{m=1}^\infty \prod_{n=1}^m (z^2 - n^2) $$

Esto está bien definida en los enteros, ya que todos, pero un número finito de términos se $0$ en cualquier entero $z$. Además, para cualquier entero positivo $p$ (prime o no), $x \equiv y \mod p$ implica $f(x) \equiv f(y) \mod p$, debido a que es verdad para cada uno de los sumandos $z \prod_{n=1}^m (z^2 - n^2)$. Pero $f(z) \ge z!$$z\ge 2$, por lo que este no es un polinomio.

Answer 2

Hay una cantidad no numerable consistente funciones, y por lo que sin duda no todos los polinomios con coeficientes enteros. Considerar el proceso donde se define una constante de la función $f$ mediante la definición de los valores de $f(0),f(1),f(-1),f(2),f(-2),\dots$ uno por uno. En cada paso, cuando se definen $f(n)$, tiene una restricción en el valor de $f(n)$ mod $p$ por cada $p$ tal que ya está definido $f(m)$ algunos $m$, lo que es congruente a $n$ mod $p$ (tenga en cuenta que puede haber varios tales $m$ cualquier $p$, pero todos dan la misma restricción, porque hemos construido $f$ a de ser coherente hasta este punto). Pero este es un conjunto finito de números primos, y por tanto, por el Teorema del Resto Chino de estas limitaciones mod $p$ son sólo equivalente a la restricción de que el valor de $f(n)$ mod el producto de todos estos números primos. En particular, hay una infinidad de opciones para lo que usted puede hacer $f(n)$.

Así que usted puede construir consistente funciones en infinitamente pasos donde a cada paso, tienes infinidad de opciones, y esto le da una cantidad no numerable de decisiones.

Answer 3

Creo que han determinado una forma explícita para coherentes funciones de $\mathbb N \to \mathbb Z$. (Tengo pruebas escritas, sino que se tomaría un tiempo para escribir aquí.) En primer lugar, para cada entero $N > 0$ $1 \leq i \leq N$ deje $m_{N, i}$ ser cualquier número entero tal que $$m_{N, i} \equiv 1 \pmod{p_i}$$ y $$m_{N,i} \equiv 0 \pmod{p_j}$$ para todos los $1 \leq j \neq i \leq N$. (Aquí se $p_i$ $i$- ésimo primo, comenzando con $p_1 = 2$.) Ahora defina $P : \mathbb N \to \mathbb N$ $$P(n) = \prod_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} p,$$ y de forma recursiva definir los enteros $a_{n,k}$ $n \geq 0$ $0 \leq k \leq n$ como sigue: para cada $n \geq 0$, nos vamos a $$a_{n, n} = P(n)$$ y para cada $0 \leq k < n$ nos vamos $$a_{n, k} = \sum_{i=1}^{\pi(n - k)} m_{\pi(n),i}a_{n-p_i,k}.$$ Por último, definir la "base" de las funciones de $B_i : \mathbb N \to \mathbb Z$ por cada $i \geq 0$ $$B_i(n) = \begin{cases}0 &\text{ if } n < i \\ a_{n,i} &\text{ if }n \geq i\end{cases}.$$

Resulta que cada consistente función de $f : \mathbb N \to \mathbb Z$ puede ser escrita en la forma $$f(n) = \sum_{k=0}^n a_{n,k}c_k$$ para algunos secuencia única de números enteros $c_0, c_1, \ldots$, y por lo tanto también tiene una representación única como $$f(n) = \sum_{i=0}^\infty c_i B_i(n).$$ (Esta suma está definida, ya que para cualquier $n$, hay sólo un número finito $i$ donde $B_i(n) \neq 0$.)