Profundo teorema con una mínima prueba

Question

Es el esnobismo de los jóvenes supongamos que el teorema es trivial debido a que la prueba es trivial.

-- Henry Whitehead

Me han asombrado por la belleza de esta cita.

¿Cuál es en su opinión un buen candidato para exemplefy el significado pretendido por Whitehead?

La parte superior de mi cabeza estoy pensando de Langrange del teorema de la Teoría de Grupo, que es bastante simple para probar pero proporciona una visión útil.

Answer 1

Cantor de la diagonal argumento muestra no sólo el totalmente intuitivo resultado que innumerables conjuntos existen, pero de que algo tan cotidiano como los números reales pertenece a esa categoría.

La prueba se puede explicar, incluso para aquellos que no tienen experiencia en las matemáticas por un simple dibujo.

Answer 2

Stokes Teorema es un "profundo teorema" con un trivial de la prueba. Aquí está una cita de Spivak del Cálculo de los Colectores:

Stokes teorema de acciones de tres importantes atributos con muchos plenamente evolucionado los principales teoremas:

1. Es trivial.
2. Es trivial debido a que los términos que aparecen en ella han sido adecuadamente definidas.
3. Esto tiene importantes consecuencias.

Dado que este capítulo era poco más que una serie de definiciones que se han hecho a la declaración y prueba de Stokes teorema posible, el lector debe estar dispuesto a conceder a los dos primeros de estos atributos, a Stokes teorema. El resto del libro está dedicado a justificar la tercera.

Stokes Teorema incluye como un caso especial:
1. El teorema fundamental del cálculo.
2. Verde del Teorema.
3. El teorema de la divergencia (de cálculo multivariable).

Por encima de todo eso, la afirmación es tan elegante como parece: $$\int_M\partial\omega=\int_{\partial M}\omega$$

Answer 3

Esto va a depender de las definiciones de profundidad y trivial, pero la siguiente sólo se puede calificar de:

Cada mapa definido en alguna base de un espacio vectorial admite una única extensión lineal del conjunto de vectores del espacio. Lo que es más, el mapa es inyectiva/surjective/bijective si y sólo si los mapas de la base para un linealmente independientes del sistema/ abarca/sistema de base.

De hecho, la prueba se escribe mismo recta de las definiciones básicas, sin embargo, la statemente es, en un sentido, la esencia de álgebra lineal.

Answer 4

Turing es una prueba de la undecidability de la detención problema es lo suficientemente fácil como para ser explicado a la mayoría de los estudiantes de matemáticas que están familiarizados con la forma en que los programas de ordenador de trabajo, pero es de gran importancia en su campo.

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Puede ser utilizado para probar Gödel del teorema de la incompletitud (si asumimos $\omega$-consistencia de PA): dado un programa de $P$ en alguna máquina de Turing, la declaración de que $P$ detiene puede ser codificado como una sentencia de $s_P$ de la Aritmética de Peano. Si el teorema de completitud eran falsas, entonces no sería una prueba de cualquiera de las $s_P$ o $\neg s_P$.

Pero esto ahora nos da un algoritmo para la detención problema, en contradicción de la prueba de Turing: dado un programa de $P$, iterar a través de todas las posibles pruebas en la Aritmética de Peano hasta llegar a una prueba de $s_P$ o una prueba de $\neg s_P$. Por lo anterior, este algoritmo está garantizado para terminar.

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En un sentido, sin embargo, esta es la misma respuesta que la de la diagonal argumento.

Answer 5

La Paradoja de Russell, que el conjunto universal de comprensión es inconsistente con la teoría de conjuntos, se puede expresar en una línea elegante, no tiene oculto de los lemas, y fue la causa de posiblemente la más profunda investigación en la historia de las matemáticas: la búsqueda formal de axiomas de la teoría de conjuntos.