Lógica en la metateoría

Question

En Goldstern y de Judá es La Incompletitud Fenómeno se pide demostrar que cualquier modelo de los dos primeros Axiomas de Peano: $$\forall x [Sx\neq0]$$ $$\forall x\forall y[Sx=Sy\implies x=y]$$ tiene que ser infinita. S es un unario función de la intención como sucesor. Si el modelo es finito debe ser $m$ $n$ $S^m0=S^n0$ donde el subíndice representa la iteración. A continuación, $|n-m|$ aplicaciones de la segunda axioma conducir a una contradicción con la primera.

Es evidente que estamos discutiendo en el metatheory, como nuestros axiomas no tienen ideas de conjuntos infinitos. Existe una clara definición de lo que los axiomas y la lógica están permitidos aquí? Puedes sugerir un libro sobre el tema?

Answer 1

Hay dos maneras de manejar esto.

La forma más común es simplemente asumir alguna forma de la teoría de conjuntos en la metatheory, por ejemplo, ZFC. A continuación, puede utilizar todas las normales de la semántica y el modelo teórico de los métodos que se utilizan para. Las ventajas de este método son que coincide con la forma en que los matemáticos que realmente piensa acerca de las cosas, y que nos permite utilizar todos los teoremas que estamos acostumbrados.

Otra opción es la de reinterpretar las afirmaciones hechas en el metatheory como sintáctica de reclamaciones. Por ejemplo, la afirmación "el modelo debe ser infinito" puede ser interpretado para significar que la teoría en sí misma (!) prueba cada una de las frases $$ \lnot (\exists c_0) (\forall x) (x = c_0) $$ $$ \lnot (\exists c_0, c_1) (\forall x) (x = c_0 \lor x = c_1) $$ $$ \lnot (\exists c_0, c_1, c_2) (\forall x) (x = c_0 \lor x = c_1 \lor c = c_2) $$ y, más en general, para cada una de las $k > 0$, $$ \lnot (\existe c_0, \ldots, c_k ) (\forall x) (x = c_0 \lor \cdots \lor c = c_k) $$

El hecho de que cada una de estas sentencias es demostrable en la teoría puede ser verificada con una muy débil metatheory. Hay una simple y de manera uniforme, para cualquier fija $k$, para generar una prueba de sus dos axiomas para ese $k$.

Esta reinterpretación proceso es bien conocido para los lógicos, y puede ser aplicado de manera muy general. La principal limitación es la de si la propiedad en cuestión puede ser formulada en el lenguaje de la teoría en sí misma (posiblemente como un conjunto infinito de oraciones, como con el ejemplo de arriba).

Gödel integridad del teorema dice que si una frase en el idioma de una teoría es verdadera (semánticamente) en todos los modelos de la teoría, entonces la frase es comprobable (sintácticamente) dentro de la propia teoría. Así podríamos, si quisiéramos, ignorar el "verdadero" en esos casos y centrarse sólo en el "comprobable". El costo de hacer esto es que podría decirse que pierde el punto, ya que suelen pensar semánticamente acerca de los modelos, y que no se aplica a las propiedades de los modelos que no puede ser expresado en el lenguaje de la teoría en sí misma.

Debido a que este proceso de reinterpretación es generalmente de muy rutinario, es raro que los lógicos se molesta en mencionar que, a pesar de que estamos conscientes de que se podía hacer. Acabamos de escribir en el modelo normal de la teoría de la (establecer teórico) a menos que exista una razón particular que tenemos que centrarnos en la interpretación sintáctica.

Answer 2

Usted está haciendo indirectamente, la manera directa de hacer esto es mediante la definición de una función de $N$ a los miembros de la modelo.

Así que vamos a $M$ ser un modelo de los dos primeros axiomas. (Para poder hablar sobre el modelo que necesitamos una teoría que se puede hablar de conjuntos hasta cierto punto o una teoría que se puede interpretar que la cantidad de la teoría de conjuntos.)

Lo siguiente es la definición de la función inductiva en la manera obvia y, a continuación, utilizar la inducción y el hecho de que $M$ cumple el primer y segundo axioma de probar que la función es uno a uno.