cómo resolver $3 - \cfrac{2}{3 - \cfrac {2}{3 - \cfrac {2}{3 - \cfrac {2}{...}}}}$

Question

$$A = 3 - \cfrac{2}{3 - \cfrac {2}{3 - \cfrac {2}{3 - \cfrac {2}{...}}}}$$

Mi respuesta es:

$$\begin{align} &A = 3 - \frac {2}{A}\\ \implies &\frac {A^2-3A+2}{A}=0\\ \implies &A^2-3A+2=0\\ \implies &(A-1)\cdot(A-2)=0\\ \implies &A=1\;\text{ or }\; A=2 \end{align}$$

Debo señalar que no estoy seguro de que la respuesta anterior sea cierta. Porque esperaba una sola respuesta para A (A es una expresión numérica), pero he encontrado dos, $1$ y $2$ . Esto parece una paradoja.

Answer 1

Esta fracción continua es el límite de la sucesión $a_n=3-2/a_{n-1}$ . El cálculo de los primeros términos muestra que $2$ es el límite correcto; si nuestro término inicial $a_1=3$ fueran diferentes entonces el límite podría ser $1$ .

Answer 2

Definamos dos series. La primera es \begin{align} a_1 &= 3 \\ a_2 &= 3 - \frac{2}{3} \\ a_3 &= 3 - \frac{2}{3 - \frac{2}{3}} \\ a_4 &= 3- \frac{2}{3 - \frac{2}{3 - \frac{2}{3}}} \\ &\vdots \\ a_{n+1} &= 3 - \frac{2}{a_n} \quad (*) \end{align} y \begin{align} b_1 &= 3 - 2 \\ b_2 &= 3 - \frac{2}{3-2} \\ b_3 &= 3 - \frac{2}{3 - \frac{2}{3-2}} \\ b_4 &= 3 - \frac{2}{3 - \frac{2}{3 - \frac{2}{3-2}}} \\ &\vdots \\ b_{n+1} &= 3 - \frac{2}{b_n} \quad (**) \\ \end{align}

Nota: Se trata de la misma relación de recurrencia $(*)$ o $(**)$ pero con un valor inicial diferente $a_1 = 3$ y $b_1 = 1$ .

Para la convergencia necesitamos $a_{n+1} - a_{n} \to 0$ o $a_n \to a$ .

De esta forma (en caso de convergencia) las ecuaciones $(*)$ y $(**)$ tienen un límite $$ a = 3 - \frac{2}{a} \quad (\#) $$ que tiene efectivamente las soluciones $a = 1$ y $a = 2$ .

Sin embargo, eso significa que también podríamos intentar $$ c_n = 3 - \frac{2}{c_{n+1}} $$ o $$ c_{n+1} = \frac{2}{3 - c_n} \quad (\#\#) $$ porque tiene la forma límite $(\#)$ .

Obsérvese que la ecuación $(\#\#)$ es muy diferente de la ecuación $(*)$ (véase la imagen de abajo).

Y efectivamente esta relación de recurrencia $(\#\#)$ también funciona. Utilizando $c_1 = 1$ dará $c_n \to 1$ Utilizando $c_1 = 2$ dará $c_n \to 2$ . Utilización de $c_1 = 1000$ dará $c_n \to 1$ .

¿A qué se debe esto? Sigue habiendo dos soluciones y el valor inicial decide el límite.

He aquí una imagen:

El gráfico verde está relacionado con $(*)$ : $$ f(x) = 3-\frac{2}{x} $$ el gráfico azul está relacionado con $(\#\#)$ : $$ g(x) = \frac{2}{3-x} $$ y la gráfica roja es la función identidad: $$ \mbox{id}(x) = x $$

Vemos que ambos $f$ y $g$ dar con la identidad en $x=1$ y $x=2$ . Estos puntos son puntos fijos de $f$ y $g$ : \begin{align} x^* &= f(x^*) \\ x^* &= g(x^*) \end{align} Y ahora se podría intentar aplicar la teoría de los puntos fijos, especialmente las propiedades de las iteraciones de puntos fijos. \begin{align} x_{n+1} &= f(x_n) \quad (\$) \\ x_{n+1} &= g(x_n) \end{align}

La iteración de punto fijo de $f$ es como la iteración de fracciones continuas originales (compare $(\$ ) $ with $ (*) $ or $ (**)$).

La teoría que hay detrás puede ayudar ahora con afirmaciones sobre la convergencia y la dependencia de los valores iniciales.

Answer 3

Obsérvese que a medida que añadimos más términos a la fracción continua, ésta oscila entre $1$ y ligeramente superior a $2$ . $$ \begin{align} n&=1& 3&=3& 3-2&=1\\\\ n&=2& 3-\cfrac23&=\frac73& 3-\cfrac{2}{3-2}&=1\\\\ n&=3& 3-\cfrac{2}{3-\cfrac23}&=\frac{15}7& 3-\cfrac2{3-\cfrac2{3-2}}&=1\\\\ n&=4& 3-\cfrac2{3-\cfrac2{3-\cfrac23}}&=\frac{31}{15}& 3-\cfrac2{3-\cfrac2{3-\cfrac2{3-2}}}&=1\\\\ && 3-\cfrac2{\cfrac{2^n-1}{2^{n-1}-1}}&=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}& 3-\cfrac21&=1 \end{align} $$ Por lo tanto, el límite de las fracciones continuas con $2n-1$ dos y tres es $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}=2 $$ y el límite de las fracciones continuas con $2n$ dos y tres es $$ \lim_{n\to\infty}1=1 $$ Por lo tanto, un valor representa el límite de un número impar de doses y treses y el otro valor representa el límite de un número par de doses y treses.

Answer 4

Tus dos soluciones son correctas. Puedes verificarlas de la siguiente manera.

$$\color{blue}{1} = 3 - 2=3-\frac{2}{\color{\red}{1}}\tag{1}$$ Ahora sustituye el 1 rojo por el 1 azul, que es igual al lado derecho en (1).

$$\color{blue}{2} = 3 - 1=3-\frac{\color{cyan}{2}}{\color{\red}{2}}\tag{2}$$ Ahora sustituye el 2 rojo por el 2 azul, que es igual al lado derecho en (2).

He oído en Internet que ésta es una de las formas en que Ramanujan creó algunas de sus igualdades.

Ahora 2 preguntas para usted, (1) ¿y si sustituyes el cian 2 por el azul 2 y así sucesivamente? (2) ¿Y si sustituyes el cian 2 por el azul 2 y luego sustituyes el rojo 2 por el azul 2 y así sucesivamente?