¿Tengo la definición correcta de suavidad formal?

Question

Estoy tratando de elaborar un ejemplo básico donde la suavidad formal debe fallar.

Estoy considerando $ \mathbb {R} \to \mathbb {R}[x,y]/(x^2-y^2)$ .
La idea es que no todos $ \mathbb {R}$ -homomorfismo $ \mathbb {R}[x,y]/(x^2-y^2) \to \mathbb {R}$ debería elevarse a un homomorfismo $ \mathbb {R}[x,y]/(x^2-y^2) \to \mathbb {R}[ \varepsilon ]/( \varepsilon ^2)$ . Pero no veo que eso sea posible: después de todo, puedo tomar exactamente el mismo homomorfismo, con imagen $ \mathbb {R} \subset \mathbb {R}[ \varepsilon ]/( \varepsilon ^2)$ esto da un ascenso válido.

¿Necesito considerar algo más que $R = \mathbb {R}[ \varepsilon ]/( \varepsilon ^2)$ con $I = ( \varepsilon )$ para presenciar el fracaso de la suavidad formal? Creo que eso es suficiente, dado que debería explicar completamente el levantamiento de los puntos a los vectores tangentes.

Answer 1

De hecho, hay que considerar un anillo artístico diferente para presenciar el fracaso de la suavidad formal.

Mira en cambio a $ \mathbb {R}[ \epsilon ]/ \epsilon ^3 \to \mathbb {R}[ \epsilon ]/ \epsilon ^2$ y el mapa $ \mathbb {R}[x,y]/(x^2-y^2)$ a $ \mathbb {R}[ \epsilon ]/ \epsilon ^2$ por $x \mapsto \epsilon $ , $y \mapsto 0$ . Si quisieras levantar esto a un mapa para $ \mathbb {R}[ \epsilon ]/ \epsilon ^3$ entonces tendrías $x \mapsto \epsilon + a \epsilon ^2$ y $y \to b \epsilon ^2$ pero entonces $x^2 = \epsilon ^2$ y $y^2=0$ .

La intuición "geométrica" aquí es que el espacio tangente de Zariski a $x^2=y^2$ en $0$ es bidimensional, pero los vectores tangentes que tienen una pendiente distinta de $ \pm 1$ no puede extenderse a los aviones de orden superior.