¿Cuál es la diferencia entre la función lineal y la afín

Question

Estoy un poco confundido. ¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una función afín? Cualquier sugerencia será apreciada

Answer 1

Una función lineal fija el origen, mientras que una función afín no necesita hacerlo. Una función afín es la composición de una función lineal con una traslación, por lo que mientras la parte lineal fija el origen, la traslación puede asignarlo a otro lugar.

Como ejemplo, las funciones lineales $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ preservan la estructura del espacio vectorial (por lo que, en particular, deben fijar el origen). Mientras que las funciones afines no preservan el origen, sí preservan algunas de las otras geometrías del espacio, como la colección de líneas rectas.

Si se elige una base para los espacios vectoriales $V$ y $W$ y considerar las funciones $f\colon V\to W$ entonces $f$ es lineal si $f(v)=Av$ para alguna matriz $A$ (del tamaño adecuado), y $f$ es afín si $f(v)=Av+b$ para alguna matriz $A$ y el vector $b\in W$ .

Answer 2

Una función afín es la composición de una función lineal seguida de una traslación. $ax$ es lineal ; $(x+b)\circ(ax)$ es afín. ver Matemática pura básica moderna : C.Sidney

Answer 3

Una función afín entre espacios vectoriales es lineal si y sólo si fija el origen.

En el caso más sencillo de las funciones escalares en una variable, lineal son de la forma $f(x)=ax$ y afín son $f(x)=ax +b$ , donde $a$ y $b$ son constantes arbitrarias.

De manera más general, lineal funciones de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ son $f(v)=Av$ y afín las funciones son $f(v)=Av +b$ , donde $A$ es arbitrario $m\times n$ matriz y $b$ arbitrario $m$ -vector. Además, $\mathbb{R}$ puede ser sustituido por cualquier campo.

De forma más abstracta, una función es lineal si y sólo si preserva la estructura lineal (también conocida como espacio vectorial), y es afín si y sólo si preserva la estructura afín. A espacio vectorial consiste en las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares, que se conservan mediante funciones lineales:

$$f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2), \quad f(kv) = k f(v).$$

Un estructura afín en un conjunto $S$ consiste en una acción libre transitiva $(v,s)\to v + s$ por un espacio vectorial $V$ (llamado espacio vectorial asociado). De manera informal, $v+s\in S$ es la traslación del punto $s\in S$ por el vector $v\in V$ y para cualquier par de puntos $s_1, s_2\in S$ existe un único vector de traslación $v\in V$ con $v + s_1=s_2$ , también escrito como $v = \overrightarrow{s_1 s_2}$ . Entonces una función entre dos espacios afines $S$ y $T$ (es decir, conjuntos con estructuras afines) es afín si y sólo si preserva la estructura, es decir

$$f(v + s) = h(v) + f(s)$$

donde $h$ es una función lineal entre los correspondientes espacios vectoriales asociados.

Answer 4

$(1)$ Ecuaciones funcionales continuas lineales de la forma : $$F(\alpha x +\delta y)= \alpha F(x) + \delta F(y)$$ ;

o más bien la homogeneidad de 1 punto

$(1a)$ (a menudo con la ecuación de Cauchy también), como en el post anterior. Sin embargo, a veces no se necesita la ecuación de Cauchy además de $(1a)$ si se puede llegar a ella $(1a)$ (para todos los reales) directamente, lo que no suele ser el caso.

$(2)$ Afines de la forma ;

Forma de la función continua : $$\forall (x,y)\in \mathbb{R}F((1-t) x + t y)= tF(y) +(1-t)F(y); t\in [0,1]$$ es decir, "cóncavo y convexo".

*O es $\forall (x,y)\in $ $\text{dom(F)}$ o $\forall (x,y)\in$ [0,1]$?

Para(2) Función Forma : $$F(x)=Ax+B$$

Dónde $A$ es una constante arbitraria

(1a) $$\forall x\in \mathbb{R},\forall \delta \in \mathbb{R}:F(\delta x)=\delta F(x)$$ (1/1a) Función lineal: $$F(x)=Ax$$ (en este caso $A=F(1)$ )

Siempre (o casi siempre) hay que derivar previamente la ecuación de Cauchy, para derivar $(1a)$ para todos los números racionales. Y luego un requisito de regularidad débil, en general, dada la ecuación de Cauchy, para extender la homogeneidad a todos los reales es decir, para llegar a la ecuación $(1a)$ )

A veces se puede extender a los irracionales algebraicos dadas las ecuaciones de auto-morfismo del campo, aunque "aparentemente" ya especifican la función y conceden continuidad Tengo algunos problemas con eso (pero esa es otra historia; vis a vis los números trans-trascendentales).

En ambos casos, es posible que accidentalmente haya restringido el dominio a $[0,1]$ pero están en sus formas continuas, por lo que en cierto sentido ahora son ecuaciones de función en lugar de funcionales . O más bien en una forma funcional a partir de la cual la función debería ser directamente derivable; en contraposición a "la solución general (a menudo continua) de la ecuación de Cauchy o de la ecuación de Jensen, etc.".)

Aunque eso puede no ser del todo correcto.

Creo que a veces las funciones convexas (presumiblemente no las convexas y cóncavas pero puedo estar equivocado) pueden tener problemas de continuidad en los puntos finales . Sin embargo, presumo que se dictaminan como degeneradas o no posibles en el sistema actual, es decir, no medibles por Lebesgue.

Y a menudo es cuando se habla de la convexidad del punto medio o de la ecuación de Jensen en lugar de sus versiones, ya, o (posiblemente) supuestamente, continuas $(1)$ y $(2)$ .

Sólo estoy siendo tentativo sobre $(2)$ aquí. No estoy discutiendo nada, sólo quiero tener cuidado.

Por lo general, a menos que no se restrinja a un intervalo (o versión de línea real).

intervalo (es de suponer que existe una generalización de la línea real). Nótese que el delta está restringido aquí, no se puede resolver el origen directamente.

Supongo que $(2)$ es sólo la versión de la línea real $(2)$ de convexidad y concavidad quizás. una vez fijado el origen.

En (2) no se puede resolver para $F(0)=0$ o resolver directamente para $F(1)=a$ para $F(x)=ax$ pero sólo que $F(0)=b$ para $F(x)=ax+b$ .

Aunque creo que ambos $(1)$ y $(2)$ son las versiones restringidas a la gama de unidades, pero con $F(0)$ que se incorporan directamente a $(1)$ .

Como se puede establecer $a=1$ y $b=1$ , $x=0$ , $y=0$

Para conseguir $[F(0)=2F(0)]\,\Rightarrow\,F(0)=0$ en $(1)$

Pero no se puede hacer en $(2)$ .

Como sólo hay un parámetro libre, por lo que siempre se obtiene $F(0)=F(0)$

Supongo que uno consigue eso (creo/quizás)

(2a) $$F(tA)= t(F(A)-F(0)] +F(0)$$

Dónde $$F(A)$$ es el elemento F(max del dominio; cuando $A$ positivo o creciente) o $$F(A)=F(1)-F(0)$$ aquí.

No estoy seguro de si $(2)$ en esta forma, $F$ se define sólo el dominio $[0,1]$ .

Sin embargo, no está claro si $F(x)=ax+b$ se sale/(es derivable) de $(2)$ Tan directamente como $F(x)=Ax$ (es derivable)/se sale de $(1)$ .

Probablemente estoy usando la versión equivocada confinada a ese dominio $[0,1]$ dominio).

Answer 5

Respuesta para cualquier lector francés confundido.

En Francia/francés, la distinción entre lineal y afín parece ser diferente a la de otros países.

Una función afín en el sentido francés es una función cualquiera que puede escribirse

$f(x) = a + bx$

donde $a$ y $b$ son independientes de $x$ (no necesariamente real). Por ejemplo, $f(n) = a + bn$ , donde $n \in N$ es una función afín sobre el conjunto de números naturales $N$ .

Una función lineal en el sentido francés es una función afín que pasa por el origen, es decir $a=0$ y $f(x)=bx$ para algún número $b$ independiente de $x$ .

Referencia: wiki/Fonction_affine