¿Cambia la topología general del espacio-tiempo de Minkowski en una transformación de Lorentz?

Question

¿El general de la topología del espacio de Minkowski-cambio de hora bajo una transformación de Lorentz? Abierto las bolas en $\mathbb{R}^{4}$ (con el estándar de la topología) no son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Esto significa por ejemplo que los observadores en un marco de referencia que tienen diferentes nociones de convergencia, continuidad, etc?

Nota: me estoy preguntando desde la perspectiva de una curiosa estudiante que acaba de terminar de introducción y análisis de la física moderna. Favor de responder adecuadamente.

Answer 1

No, porque una transformación de Lorentz es continua con una inversa continua. Mientras que una bola abierta no se asigna a sí mismo, se asigna a algún otro sistema abierto, de una manera inversible. (Que una transformación de Lorentz es continua se deduce que es lineal.)

Answer 2

Esto es simplemente una adición corta Robin Ekman respuesta y la respuesta a tu comentario

Así que podría frase de esta manera: las transformaciones de Lorentz son homeomorphisms, así que aunque el abierto de conjuntos no de todos los idiomas, todas las nociones topológicas aún se conservan?

Homeomorphism es, de hecho, el concepto clave aquí, y quiero añadir una muy leve pequeñeces con Robin respuesta, de modo que no hay ningún riesgo de ser confundido en contextos diferentes SR/GR (por ejemplo, en la mecánica cuántica): también tiene la información de que el espacio-tiempo de Minkowski es finito dimensionales para deducir la continuidad de la linealidad y homeomorphism de lineal y invertible (que por supuesto es una figura en el espacio-tiempo de Minkowski). En infinitas dimensiones, no todas lineal mapas son continuas: testigo de la delta de Dirac en $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ por ejemplo. La diferencia entre los conceptos de lineal general y el estrictamente más especializados "lineal continuo", dice la norma, countably infinito dimensional espacio de Hilbert $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ es en realidad la razón misma de ser de las distribuciones y el marco de la aparejado el espacio de Hilbert para hablar acerca de ellos; véase mi respuesta aquí para obtener más información.

Como ya he dicho, nada de esto es cualquier preocupación en el clásico de la relatividad. Lineal y lineal continua son las mismas nociones en este campo.