Piso función desigualdad $\lfloor a\sqrt{2}\rfloor\lfloor b\sqrt{7}\rfloor <\lfloor ab\sqrt{14}\rfloor$

Question

Que $a,b$ ser enteros positivos. Mostrar que $\lfloor a\sqrt{2}\rfloor\lfloor b\sqrt{7}\rfloor <\lfloor ab\sqrt{14}\rfloor$.

[Fuente: problema de competencia rusa]

Answer 1

$a\sqrt{2} = m + \alpha$ $m$ Dónde está un número entero y $0 < \alpha < 1$ y $b\sqrt{7} = n + \beta$ donde $n$ es un número entero y $0 < \beta < 1$. (Las partes fraccionarias son positivas desde $\sqrt{2}$ y $\sqrt{7}$ son irracionales). Debemos demostrar que %#% $ #%

Tenemos %#% $ $$ (m+ \alpha)(n + \beta) - mn \geq 1.$ #% es necesariamente un número entero positivo. De esto es fácil ver que $$\alpha = a\sqrt{2} - m = \frac{2a^2 - m^2}{a\sqrt{2} + m} = \frac{2a^2 - m^2}{2m + \alpha} \geq \frac{1}{2m + \alpha},$ semejantemente demostrar $2a^2 - m^2$, por lo tanto, $$m \geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\alpha} - \alpha\right).$ $ ahora tenemos $$\begin{align*} (m + \alpha)(n + \beta) - mn &= \alpha n + \beta m + \alpha \beta \\ &\geq \frac{\alpha}{2}\left(\frac{1}{\beta} - \beta\right) + \frac{\beta}{2}\left(\frac{1}{\alpha} - \alpha\right) + \alpha \beta \\ &=\frac{1}{2}\left( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right)\\ &= 1 + \frac{(\alpha - \beta)^2}{2\alpha\beta}\\ &\geq 1, \end$ {align*} $$ como sea necesario.