¿Son dominios euclidianos exactamente las que podemos definir "mod" en?

Question

Un dominio Euclídeo $E$ es una parte integral de dominio cuando, por cualquier $a, b \in E$, podemos escribir:

$$a = bq + r$$

con cualquiera de las $r = 0$ o $f(r) < f(b)$ donde $f$ es la valoración de la función de adjunto a $E$.

Puedo definir la operación binaria $\bmod$ tal que $a \bmod b = r$ para todos los Euclidiana dominios? ¿Siempre se comportan de la misma manera como el mod de la función en $\mathbb{Z}$ que hago?

Lo que me pregunto fue la observación de que puedo hacerlo en el dominio Euclídeo $\mathbb{Q}[x]$ mediante el cociente de los anillos:

$$ \begin{aligned} \psi_{x^2 + x} &:: \mathbb{Q}[x] \rightarrow \mathbb{Q}[x]/\langle x^2 + x \rangle\\ \psi_{x^2 + x}(x^2 + x + 5) &= x^2 + x + 5 + \langle x^2 + x \rangle = 5 + \langle x^2 + x \rangle\\ \end{aligned} $$

Por lo $r = 5$$x^2 + x + 5 \bmod (x^2 + 5) = 5$, como era de esperar. También funciona para la multiplicación.

Answer 1

Como usted dice, usted está utilizando la función binaria "mod" de los científicos de la computación. Pero en matemáticas, uno encuentra que esta función es de utilidad limitada, y hacemos uso de la equivalencia de la relación de $a\equiv b\pmod I$ lugar. Se lee, "$a$ es congruente a $b$ modulo $I$", y es una frase que va a ser verdaderas o falsas.

A tu pregunta específica, considerar la distancia Euclídea de dominio $\Bbb Z[i]$, los enteros de Gauss. Si usted toma un módulo complejo como $\zeta=6+3i$, tiene perfecto sentido decir si dos números de Gauss $\alpha$ $\beta$ son congruentes modulo $\zeta$, es decir, verifique para ver si $\beta-\alpha$ es un multiplie de $\zeta$ por otro Gaussiano número. Pero no hay una buena y coherente de la definición de un "mod" de la función aquí. Usted puede hacer una artificial "mod" en función de esta situación, pero no va a ser ni bueno ni coherente.

Answer 2

Su título: no. Cualquier anillo de obras para una operación mod, solo hacer cosas estándar coset forma. Que $I\subseteq R$ ser un ideal. Entonces definimos

$$a\equiv b\mod I\iff a-b\in I.$$

Y esto es una relación de equivalencia bien definida.

Para los enteros esto reduce a

$$a\equiv b\mod n\iff a-b\in (n)\iff a-b=nk$$

$k\in\Bbb Z$.

Por lo que a la pregunta en el cuerpo (que no es lo mismo) en cuanto a if podemos definir mod para EDs: sí se puede, pero no son la configuración más general.

Answer 3

En un dominio euclidiano, no es únicamente determinar que $r$ $a$ y $b$, por lo que no puede definir mod de la manera que usted propuso.