Límite de suma definida es igual a $\ln(2)$

Question

Tengo que demostrar la siguiente igualdad:

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=\frac{n}{2}}^{n}\frac{1}{i}=\log(2)$$

He estado jugando con él durante casi una hora, principalmente con la expansión de taylor de $\ln(2)$. Es muy similar a lo que necesito, pero es una señal alterna que se encuentra en mi camino.

¿Alguien puede señalarme en la dirección correcta?

Answer 1

Otro enfoque como señaló achille hui en los comentarios: el límite se puede escribir como una suma de Riemann: $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=n/2}^n \frac{1}{i} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=n/2}^n \frac{1}{i/n} = \int_{1/2}^1 \frac{dx}{x} = \left.\log x\right | _ {1/2} ^ 1 = \log 2 $$

Answer 2

Truncar la serie de Maclaurin para $\log(1+x)$ en el término de $2m$-th y evaluar en $x=1$. Tomemos por ejemplo $m=10$. Tenemos $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}.$$ agregar $2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{20}\right)$ y restar lo mismo, pero esta vez teniendo en cuenta que %#% $ #% obtenemos $$ 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{20}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{10}.$ $ hay cancelación agradable y obtenemos $$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{20}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{10}\right).$ $

Answer 3

$$\int_2^{n+1} \frac{1}{x-1}\,dx> \sum_2^n \frac{1}{k}>\int_2^{n+1}\frac{1}{x}\,dx$$

$$\ln n> \sum_2^n \frac{1}{k}>\ln (n+1)-\ln 2$$

$$\ln n-\ln (n/2)> \sum_{n/2}^n \frac{1}{k}>\ln (n+1)-\ln (n/2+1)$$

$$\ln 2> \sum_{n/2}^n \frac{1}{k}>\ln 2+\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)\to \ln 2$$

Answer 4

Tenemos $$\sum_{k=1}^n \frac1k - \ln n\to \gamma$ $ por lo tanto % $ $$\sum_{k=\frac n2+1}^n \frac1k -( \ln n -\ln{\frac n2})\to 0$$n\to\infty$. (Cf. el comentario de pxchg1200)