Soy estudiante de doctorado en ingeniería eléctrica. Necesito encontrar una fórmula de forma cerrada para la siguiente serie: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2}A_k^2e^{-k^2\sigma_m^2}(e^{k^2\sigma_m^2}-1)$$ donde $A_k= \frac{4\sin(\frac{\pi}{2}k)}{\pi k}$ y $\sigma_m^2$ es una constante. Este es un resultado muy importante si puedo encontrarlo.
Muchas gracias.
En primer lugar, el $\sin$ es una pista falsa, ya que es igual a $1$ para impar $k,$ y $0$ para incluso $k.$ En segundo lugar, ampliando el segundo término, obtendrás dos sumas. La primera es
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{8}{\pi k}^2 \sin^2(k\pi/2),$$ que es un múltiplo de la suma de los inversos de los cuadrados de impar, y es fácil de evaluar.
La segunda suma es $$(8/\pi^2)\sum_{\mbox{odd $ k $}} e^{-k^2/\sigma^2}/k^2.$$ Hacer el exponente $(-x^2 k^2/\sigma^2),$ y diferenciar con respecto a $x.$ Obtendrá una suma de la forma
$$a x\sum e^{-x^2 b k^2},$$ por lo que un múltiplo de una función lineal y un función theta , por lo que la suma se puede expresar a través de las integrales de los mismos. El resto lo dejo a tu criterio (ya que no tengo ni idea de qué es lo que intentas conseguir).
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