Cómo calcular esta integral %#% $ de #% no encuentro esta pregunta en la pregunta anterior. Con la ayuda de Wolframalpha tengo un % de respuesta $$\int_0^\pi \ln(1+\sin x)\mathrm dx$, donde $-\pi \ln 2+4\mathbf{G}$ denota constante de Catalan.
Respuesta
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Primero debemos reescribir $\log(1+\sin(x))=\log(2)+2\log(\sin(x/2+\pi/4))$. Esto produce que, después del cambio de $x/2+\pi/4\rightarrow y,dx\rightarrow 2 dy$
$$ I=\pi\log(2)+4\underbrace{\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\log(\sin(y))dy}_{J} $$
Ahora podemos emplear la serie de Fourier de $\log(\sin(x))$ para calcular el $J$
$$ J=-\log(2)\int_{\pi/4}^{3\pi/4}dy-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos(2yk)dy=\\ -\frac{\pi}{2}\log(2)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} $$
donde se utilizó $\sin(\frac{3\pi}{2} k)-\sin(\frac{\pi}{2} k)=(-1)^{k}-(-1)^{k+1}=2(-1)^k$ en la segunda línea.
El empleo de la serie representación de la catalana constante nos encontramos
$$ J=-\frac{\pi}{2}\log(2)+G $$
y por lo tanto
$$ I=\pi \log(2)+J=-\pi \log(2)+4G \quad (*) $$
Sólo por diversión, vamos a ver lo que el contorno de integración puede hacer. Volvemos a usar $J$ reescritura de ella, con la ayuda de la identidad de $\log(\sin(x))=\log(i/2)-ix+\log(1-e^{2 i x})$. La integral sobre los dos primeros términos es trivial, lo que nos deja con
$$ J=-\frac{\pi}{2}+\underbrace{\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\log(1-e^{2 i x})}_{K} $$
para evaluar $K$ integramos el complejo de valores de la función
$$ f(z)=\log(1+e^{2 i z}) $$
sobre un rectángulo $C$ en el plano complejo con verticies $(\pi/4,3\pi/4,3\pi/4+i R,\pi/4+i R)$ ( $R\rightarrow +\infty$). Como se puede fácilmente comprobar, la contribución de la parte superior del rectángulo vanishs (el integrando vanishs como $\mathcal{O}(e^{-2R})$ grande $R$). Además el integrando es holomorphic dentro del contorno de la integración y, por tanto, podemos expresar la integral de interés en términos de las piezas verticales de la curva de nivel
$$ \int_C f(z)dz=K+i\int_{0}^{\infty}\log(1+ie^{-2y})dy-i\int_{0}^{\infty}\log(1-ie^{-2y})dy=0 $$
esto puede ser simplificado a
$$ K=2\int_0^{\infty}\arctan(e^{-2y})dy=\int_0^{\infty}\arctan(e^{-y})dy $$
el uso de la serie repesentation arctan, fácilmente podemos concluir que esta integral es igual a $G$ y por lo tanto
$$ K=G $$
a partir de la cual se deduce que
$$ J=-\frac{\pi}{2}\log(2)+K=-\frac{\pi}{2}\log(2)+G$$
a partir de la cual (*) se deduce inmediatamente
