Mínimo polinómico: significado geométrico

Question

Actualmente estoy estudiando el Capítulo 6 de Hoffman & Kunze del Álgebra Lineal que trata con los valores de las características y la triangulación y diagonalización teoremas.

El capítulo hace un uso intensivo del concepto de la mínima polinomio que define como el monic polinomio de menor grado que aniquila una transformación lineal.

Actualmente estoy a la búsqueda de las pruebas en el libro que el uso de esta definición de los mínimos polinomio a ser muy opaco: sólo las cadenas de cálculos con polinomios que resultan a dar la respuesta correcta en la final.

Por lo tanto, fui preguntando si hay una forma más geométrica vista de la mínima polinomio? ¿Qué información acerca de la transformación lineal es la realización y por qué? Supongo que la respuesta sería más simple en el caso de un algebraicamente cerrado de campo, pero hay una respuesta que también trabaja para un general de campo?

Answer 1

Considere las siguientes matrices: $$ A = \left(\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right) \ \ \text{ y } \ \ B = \left(\begin{array}{cc}2&1\\0&2\end{array}\right). $$ La primera matriz tiene un mínimo de polinomio $X - 2$ y el segundo tiene un mínimo de polinomio $(X-2)^2$. Si restamos $2I_2$ a partir de estas matrices, a continuación, obtenemos $$ \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right) \ \ \text{ y } \ \ \left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right), $$ donde la primera tiene un mínimo de polinomio $X$ y el segundo tiene un mínimo de polinomio $X^2$. Los diferentes exponentes aquí reflejan el hecho de que una matriz puede tener una potencia que es de $O$ sin $O$ sí (esto no sucede con los números ordinarios, como en ${\mathbf R}$ o ${\mathbf C}$). Una matriz tiene un poder igual a $O$ precisamente cuando su mínima polinomio es algo de poder de $X$, y el exponente que usted necesita en $X$ lograr que pueden variar. Como otro ejemplo, comparar $$ M = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \ \text{ y } \ \ N = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right). $$ Estos no son la matriz cero, sino $N^2 = O$ mientras $M^3 = O$$M^2 \not= O$. Por lo $M$ tiene un mínimo de polinomio $X^3$ $N$ tiene un mínimo de polinomio $X^2$.

Para describir un (monic) polinomio nos podría proporcionar a sus raíces y a las multiplicidades de esas raíces. Para una matriz cuadrada, las raíces de su polinomio mínimo son fáciles de conectar con la matriz: son los autovalores de la matriz. La sutil es parte de sus multiplicidades, que son más algebraicas que geométrico.

Puede ser natural a la esperanza de que la multiplicidad de un autovalor $\lambda$ como una raíz del polinomio mínimo es la dimensión de la $\lambda$-espacio propio, pero esto es falso en general, como se puede ver en las matrices de $A$ $B$ por encima (por ejemplo, $B$ tiene un mínimo de polinomio $(X-2)^2$ pero su 2-espacio propio es 1-dimensional). En el caso de que la matriz tiene todos los autovalores distintos, el polinomio mínimo es el polinomio característico, por lo que se podría pensar en la distinción entre la mínima y características de los polinomios como un reflejo de la presencia de repetidas autovalores.

Answer 2

Una manera de visualizar el polinomio mínimo (y polinomio característico) es en primer lugar, se pregunta por qué es el aniquilamiento de polinomios. Esta intuición es probablemente más fácil para diagonalizable operadores así que vamos a empezar por ahí.

Si $A: V\rightarrow V$ es diagonalizable, entonces podemos escribir $$V=\bigoplus_{i=1}^k E_{\lambda_i}$$ donde cada una de las $E_{\lambda_i}$ es el subespacio propio de $A$ correspondiente al autovalor $\lambda$. Para aniquilar a $A$, por lo tanto, es suficiente para aniquilar a $A$ en cada uno de los subespacios propios y el annihilator para cada una de las $E_{\lambda_i}$ es sólo $A-\lambda I$. Ahora tan lejos como subespacios invariantes ir, subespacios propios son casi tan simple como sea posible. Esto significa que una sola iteración de $(x-\lambda_i)$ $A$ es suficiente para eliminar el espacio $E_{\lambda_i}$. Por lo tanto, el polinomio mínimo es $$p(x) = (x-\lambda_1)\cdots (x-\lambda_k)$$ intuitiva y esta es la razón por la mínima polinomio de un operador diagonalizable se divide en términos lineales.

Sin embargo, no todos los operadores son diagonalizable y, entonces, tenemos que hablar sobre generalizada subespacios propios en su lugar. Si usted está familiarizado con el Jordan de la forma, luego generalizada subespacios propios no necesitan presentación. Si no (que creo puede ser el caso desde Jordania formas son el capítulo 7 en Hoffman), entonces podemos resumir de la siguiente manera: así como un operador diagonalizable "descompone" en subespacios propios, cualquier operador (diagonalizable o no) se descompone en lo que se llama generalizada subespacios propios.

Normal subespacios propios $E_{\lambda_i}$ se definen como el conjunto de vectores $\mathbf{v}\in V$ para los que $$(A-\lambda_i I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ generalizada subespacios propios $W_{\lambda_i}$ se definen como el conjunto de vectores $\mathbf{v} \in V$ para los que existe algún $m\in \mathbb{N}$ tal que $$(A-\lambda_i I)^m \mathbf{v} = \mathbf{0}$$ Y luego tenemos $$V = \bigoplus_{i=1}^kW_{\lambda_i}$$ La representación del operador $A$ correspondiente a la anterior descomposición es entonces la Forma Normal de Jordan de la matriz.

Con cada generalizada espacio propio, podemos hacer una distinción conceptual. Podemos separar el espacio en conjuntos $$S_j = \left\{\mathbf{v}\in V \big|\ j\ \text{is the smallest integer such that } (A-\lambda_i)^j\mathbf{v} = \mathbf{0}\right\}$$ por ejemplo, $S_1 \cup \{\mathbf{0}\} = E_{\lambda_i}$. En esta notación, podemos ver la acción del operador $A-\lambda I$ como cambiar los conjuntos de $$S_m \rightarrow S_{m-1} \rightarrow \cdots \rightarrow S_1 = E_{\lambda_i} \rightarrow S_0 = \{\mathbf{0}\}$$ De esta manera, el exponente de $e_i$ cada factor $(x-\lambda_i)^{e_i}$ en el mínimo polinomio puede ser visto como la "profundidad" de la generalizada autoespacio $W_{\lambda_i}$.

No estoy seguro de si la explicación anterior es satisfactorio, pero esto nos da una muy áspera geométrica la intuición de que el polinomio mínimo. El mínimo polinomio puede ser visto como una secuencia de pasos que se toman para eliminar los vectores de $V$, lo que refleja la estructura de $A$. Descomponemos $V$ en invariantes generalizada subespacios propios $V = \bigoplus_{i=1}^kW_{\lambda_i}$. Para cada generalizada espacio propio, aplicamos el operador $(A-\lambda_i)$ suficiente de veces para que el espacio es eliminado. Cada aplicación del operador corresponde a un cambio de la forma $S_{i+1} \rightarrow S_i$ en el espacio. Hacer esto para todos los generalizadas subespacios propios, a continuación, elimina la totalidad del espacio vectorial.

Answer 3

Creo que el polinomio mínimo es intrínsecamente un algebraica de la noción, y que se debe aceptar como eso. Hay geométricas consecuencias, aunque, como el hecho de que una descomposición del polinomio mínimo de a $\phi$ en un producto de potencias de irreductible polynimials conduce a una descomposición canónica del espacio vectorial como suma directa de $\phi$-estable subespacios (generalizada subespacios propios en el caso de que el polinomio mínimo de divisiones).

La intuición básica de que tengo un mínimo de polinomios es que forman una extensión lineal de los mapas de la noción de orden de una permutación. Si se itera una permutación, la única "notable" cosa que puede suceder es que en algún momento de obtener la identidad; de esta forma se define el orden de la permutación. Para un operador lineal, al calcular los sucesivos poderes es poco probable que consiga la identidad (excepto trivally para la alimentación de $0$), pero (en dimensión finita), usted está obligado a ejecutar en una dependencia lineal entre los poderes. Esta primera dependencia lineal define su polinomio mínimo. Como es el caso de que para una permutación una vez que llegue el fin de mejorar la iteración es sólo repetitivos, del mismo modo aún más los poderes de un lineal mapa puede ser reducido a potencias inferiores a una vez el polinomio mínimo es encontrado.

Para permutaciones también puede buscar en las órbitas de los elementos individuales que se permutan, que pueden tener una duración que divide el orden de la permutación. Del mismo modo, usted puede mirar en la primera dependencia lineal entre iterada imágenes por el operador lineal de un vector dado, llevando a un "mínimo polinomio" para este vector, que es un divisor de la (global) mínimo polinomio del operador.