Cómo resolver la siguiente desigualdad $$\log _{x^{2}-3}\left(x^{2}+6x\right)<\log _{x}(x+2)\ ?$ $
Respuesta
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Tenga en cuenta primero que $x \in A \cup B$ donde $A = (\sqrt3, 2), \; B = (2,\infty)$, para la pregunta a hacer sentido.
Ahora si $x \in A$, tenga en cuenta que $0< x^2-3 < 1 < x < x+2 < x^2+6x$, que % LHS $< 0$, mientras que $RHS > 0$ así que esta es una solución.
$x \in B$, Tenemos $ 1 < x < x+2 $ y $1 < x^2-3 < x^2+6x$, LHS y RHS son positivos. Aquí tenemos la desigualdad equivalente: $$\log_x (x+2) > \log_{x^2-3} (x^2+6x) \iff \log (x^2-3) \log(x+2) > \log x \log (x^2+6x)\\ \iff \log_x (x^2-3) > \log_{x+2} (x^2+6x)$ $
Ahora tenga en cuenta $x^2 - 3 < x^2$ $x^2+6x > (x+2)^2$ $x \in B$.
