Asesoramiento sobre comprensión Vector espacios y subespacios

Question

actualmente estoy estudiando espacios Vectoriales y sub espacios. He disfrutado trabajando con matrices y usando el de Gauss-Jordan eliminación y yo también tenía problemas con el cofactor de expansión y los factores determinantes en general. Pero por alguna razón perdí la pista cuando llegó a los vectores. Entiendo que la representación geométrica de $\mathbb R^2$ $\mathbb R^3$ y como resolver los ángulos y áreas de un paralelogramo.

Tengo un tiempo difícil pensar de manera abstracta y creo que este es en la actualidad el problema ¿por qué no lo capto espacios vectoriales. ¿Tiene algún consejo sobre el estudio de este material. Sé que no soy brillante en matemáticas, pero quiero estudiar y sacar temas más avanzados, porque yo veo la belleza en las matemáticas y cómo se aplica al mundo real. Cuando yo trabajo a través de las pruebas que yo soy capaz de ver el punto de inflexión o el "a-ha" efecto. Las pruebas no son en números, por lo que no puedo comprobar mis resultados si estoy haciendo lo correcto. Hay un método para entrenar el pensamiento abstracto? Realmente agradezco cualquier consejo sobre este asunto, aunque no es la que suele pregunta que se hace aquí.

Gracias por su tiempo de leer esto y su esfuerzo en las posibles respuestas.

-Daniel

Answer 1

Daniel, entiendo lo que quieres decir. A veces es difícil entender las pruebas abstractas, especialmente cuando las pruebas a las que sólo involucran muchas variables/símbolos/griego letras y no números.

Lo que por lo general funciona para mí es conseguir 1 o 2 ejemplos (ya sea de libros, en línea, conferencias, etc.) que ilustran cómo el teorema de obras. Siento que este "concreción" me ayuda a entender lo que está pasando mejor, y luego vuelvo y re-lectura de la prueba que el teorema de. Generalmente, es fácil, ejemplos triviales son los mejores.

Luego, cuando he entendido el teorema y su prueba bien, puedo intentar aplicar más difícil ejemplos.

Así, por ejemplo, en Álgebra Lineal, cuando el aprendizaje de la Clasificación de Nulidad Teorema, se puede encontrar un ejemplo muy sencillo (tal vez matrices 2x2) a partir de un libro de texto para ver en la práctica. Y tal vez pruebe con otro para ver la Clasificación de Nulidad Teorema en la práctica. Luego volver y re-lectura de la prueba.

Espero que ayude.

Answer 2

Una de las primeras cosas que debe hacer cuando se enteraron de los espacios vectoriales es ver un montón de ejemplos y averiguar por qué estos ejemplos son, de hecho, espacios vectoriales.

Los primeros ejemplos de mirar debería ser el familiar (por lo que debe intentar convencerse de que los espacios $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ satisfacer los axiomas que se han dado para un espacio vectorial).

A continuación, uno debe tratar de mirar a algunos menos conocidos ejemplos para tener una idea de qué clase de "otras" cosas que son espacios vectoriales. Aquí hay algunos ejemplos que pueden ayudar a ilustrar las ideas:

El conjunto de polinomios de grado en la mayoría de las $2$ con la adición y la multiplicación escalar dado por $(a_2x^2 + a_1x + a_0) + (b_2x^2 + b_1x + b_0) = (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a_0+b_0)$$\alpha(a_2x^2 + a_1x + a_0) = (\alpha a_2)x^2 + (\alpha a_1)x + (\alpha a_0)$.

El conjunto de $n\times n$ matrices con el usual de la suma y la multiplicación escalar.

El positivo de reales con la suma definida como $a\oplus b = ab$ (usual de la multiplicación en los reales) y la multiplicación escalar definido por $\alpha\otimes a = a^{\alpha}$ (habitual exponenciación de números reales).

El conjunto de todas las funciones de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$con la adición y la multiplicación escalar se define el punto de sabios.

Answer 3

La forma en que me enseñaron a mirar vector de espacio y subespacio es mirarlo con conjuntos de flechas. A continuación, puede dividirlo en sub flechas -- subespacio -- y aquí es donde las bases, rango, etc. entra en la formación. También, cuando te hagan la fila de reducción de la técnica, miren como tomar cualquier conjunto de vectores y encontrar la manera de muchas flechas que usted necesita para representar todas las flechas en su matriz, la cual le dará la dimensión.

También se me enseñó que las flechas, en álgebra lineal, no son vectores geométricos; son sólo elementos que se comportan como vectores en un nivel abstracto. También, de una manera que me ayudó a conseguir una comprensión intuitiva de espacio vectorial y el subespacio es por lo imagino como un piso en un edificio. Cada piso es un espacio vectorial, ya sea en $\mathbb{R}$, $\mathbb{F}$, $\mathbb{C}$, etc. -- y cada habitación dentro de ese piso es un subespacio y si te sales de esa habitación en la que está el paso a paso del subespacio. Me tomó un rato para tener una comprensión intuitiva, por lo que no están solos. Espero que esto ayudó!