¿Cuál es la distribución del tiempo antes de pasan K éxitos en los ensayos de N?

Question

¿Cuál es la distribución para el tiempo antes de K éxitos suceder en los N ensayos?

Supongamos que hay un teléfono de centro, y de N personas, cada uno de los cuales será o bien llamar al teléfono de centro en el tiempo T, con una probabilidad de p no llamar al centro telefónico con probabilidad (1 - p). La gente puede llamar una sola vez. ¿Cuál es el tiempo de espera antes de K la gente llama? T se distribuye como un aleatoria exponencial de la variable.

Yo soy la solución de este cómputo en R mediante el dibujo de N observaciones de T, descartando las muestras con probabilidad (1 - p), la ordenación de las restantes observaciones y escoger las Kth.

¿Hay alguna forma más común de hacer esto analíticamente?

Answer 1

Suena como una distribución de poisson.

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Answer 2

Supongamos que $X_1,X_2,\dotsc,X_N$ son iid con la unidad de distribución exponencial con una densidad de $f(x) = e^{-x}, x\ge 0$. (Usted puede adaptar los resultados a algún otro tipo de cambio). Pero, cada una de las $X_i$ (el tiempo de espera antes de que la persona $i$ hace su llamada de teléfono) sólo se podrá lograr con una cierta probabilidad de $p$, y con una probabilidad de $1-p$ la llamada no se realiza y no se observa que el $X_i$. El número de realizada llama a $r$ tiene la distribución binomial $\text{bin}(N,p)$. Así, reordenar las variables de modo que el se dio cuenta de llamadas (condicional en $r$)$X_1,\dotsc,X_r$. Entonces, asumiendo que $K\le r$, que pidió la distribución de la orden de estadística de la $X_{K:r}$. Ahora, la teoría de la exponencial estadísticas de orden es especialmente sencillo, de modo que, utilizando los resultados tomados del libro: Barry Arnold: "Un Primer Curso en Estadísticas de Orden", que no me voy a rederive aquí (pero las pruebas son realmente simple, y se puede encontrar aquí: http://math.stackexchange.com/questions/80475/order-statistics-of-i-i-d-exponentially-distributed-sample), transformar el orden de las estadísticas para exponencial espaciamientos, dada por $$ Z_1 = r X_{1:r}, \\ Z_2 = (r-1)(X_{2:r}-X_{1:r}) \\ \vdots \\ Z_r = X_{r:r}-X_{i-1:r}. $$ Luego de la sorprendente y simple resultado es que las variables $Z_1, Z_2, \dotsc,Z_r$ son iid la unidad distribuida exponencial.

Por algunos álgebra tenemos que $X_{K:r}$ tiene la misma distribución que $\sum_{i=1}^K \frac1{r-i+1} Z_i$, es decir, una combinación lineal de independiente exponencial de las variables aleatorias. Si todos los coeficientes de la combinación lineal son iguales, esto sería una distribución gamma. Ahora es más complicado de distribución que han sido estudiados en http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610928308828483?journalCode=lsta20por ejemplo.

Ahora, usted necesita decidir lo que queremos hacer en el caso de que $K>r$. Salvo ese problema, lo que necesita ahora es simplemente la mezcla de distribución de $X_{K:r}$ sobre la distribución binomial es $r$.

Answer 3

El tiempo es el $K$'th fin de estadística de $N'$ iid distribuciones exponenciales donde $N'$ se distribuye binomial con parámetros de $N, p$. Cada orden estadístico se distribuye como en esta solución se describe a continuación, que se mezcla en los resultados de $N'$.

Deje $\lambda$ la tasa de $T$. A continuación, el primer fin de estadística de $N'$ distribuciones exponenciales tener la tasa de $\lambda$ es exponencialmente distribuida con tasa de $N' \lambda$ ya que es como si $N'$ procesos de Poisson de la carrera uno contra el otro y el ganador del tiempo es el mismo que el tiempo de espera de la superposición. El segundo fin de estadística añade en una distribución exponencial con una tasa de $(N'-1)\lambda$ desde uno menos proceso de Poisson es de carreras, y así sucesivamente...

Answer 4

Si N es fijo y K es aleatoria, entonces el número de éxitos K es tal que $K \sim Bin(N,p)$. Usted no está garantizado para obtener K éxitos para cualquier fijo K si N es también fijo.

Alternativamente, si N es aleatorio y K es fijo, y usted se está preguntando acerca de la distribución del número de ensayos, N, hasta K el éxito se logra, entonces N $\sim NegBin(K,p)$ (tenga en cuenta que los diferentes textos que tienen diferentes definiciones de la binomial negativa -- a veces sólo el recuento de fallos, más que el total de ensayos).

La suma de k IID estándar Expos es Gamma(k,1).

Suponiendo que el binomial negativo escenario, ha $T \mid N \sim Gamma(N,1)$$N \sim NegBin(K,p)$.

No sé si hay una buena fórmula para este modelo jerárquico, pero usted debería ser capaz de obtener la expectativa fácilmente usando la ley de la total expectativa, acondicionado en N. E(T) = E(E(T|N))