¿Qué vector media en Algebra Lineal?

Question

He empezado a leer Álgebra Lineal y hay algunas cosas básicas que no puedo entender. He leído algunas respuestas en este sitio y también trató de buscar en algunos libros, pero no he encontrado una respuesta clara. Estas son algunas de las palabras que dan forma a mi libro de texto : 1. Aquí por el VECTOR no nos referimos a la cantidad vectorial que hemos definido en el vector de álgebra como un segmento de recta dirigido. 2. Matrices de tener una sola fila o columna se denominan vectores. 3. Yo también vi un video en el que aproximadamente a las 3:55 dice que un punto en dos dimensiones reales espacio de coordenadas está escrito en forma de matriz en ÁLGEBRA LINEAL.

Ahora estoy confundido! Ya que en el video parece como un vector en el ÁLGEBRA LINEAL es simplemente igual a un punto en 1, 2, 3...n real de espacios de coordenadas. Pero en mi libro de texto de su escrito que el vector no es el vector de cantidad!

3. Y también he leído en un libro en el que estaba escrito que estamos utilizando LINEAL de la palabra en lugar de VECTOR para evitar la confusión!

Por lo tanto, es realmente la diferencia en las palabras? Por qué no su escrito claramente lo que el vector que realmente es.

Answer 1

Un vector, por definición, es un elemento de algún espacio vectorial. A menos que se especifique lo contrario, esta es la definición que usted debe tener en mente. Ahora permítanme tratar de aclarar algunas de sus preguntas específicas.

1. Aquí por el VECTOR no nos referimos a la cantidad vectorial que hemos definido en el vector de álgebra como un segmento de recta dirigido.

Sin contexto, es imposible para mí para averiguar exactamente lo que se quiere decir aquí. Lo más probable, que se introdujeron en un determinado espacio vectorial, tales como $\mathbf{R}^n$ y ahora quieren discutir un vector diferente espacio donde la dirección no tiene una definición clara.

2. Matrices de tener una sola fila o columna se denominan vectores.

Esto es un poco más avanzada que lo que usted probablemente está estudiando. Básicamente se reduce a la forma de las matrices de hecho surgir. Una vez que fijar una base para el espacio vectorial, hay un bijective correspondencia entre transformaciones lineales y matrices. A continuación, todas las matrices surgir como tal. La prueba consiste en tomar una base para el dominio y, a continuación, las columnas (o filas) son las imágenes en este mapa. Bueno, la imagen es un elemento del codominio, es decir, un elemento de un espacio vectorial, así que se puede llamar un vector.

De esta manera, podemos ver que todas las columnas de una matriz es un vector de la codominio. Para las filas, ahora solo tienes que cambiar el codominio y el dominio.

3. Yo también vi un video en el que aproximadamente a las 3:55 dice que un punto en dos dimensiones reales espacio de coordenadas está escrito en forma de matriz en ÁLGEBRA LINEAL.

Esto va de nuevo a 1, donde una vez más, estamos trabajando en lo que parece ser $\mathbf{R}^2$. Él dice que es más común escribir el vector $(5,0) \in \mathbf{R}^2$ como una columna de la matriz en lugar de como una notación de punto. Esta es simplemente una de nomenclatura o de izquierda vs derecha ($xA = b$ vs $Ax = b$ si se quiere) y no tiene nada que ver con si es un vector.

Answer 2

Un vector es un elemento de un espacio del vector.

Answer 3

Un vector es un elemento de un espacio vectorial.

Eso no es correcto.

"Vector" es un término que estaba en uso antes de que el concepto de espacio vectorial existido, se aplica a las cosas que no son elementos de un espacio vectorial, y los elementos de un espacio vectorial generalmente se conocen por otros nombres que dependen del espacio.

"Espacio vectorial" significa un espacio con estructura de vectores ( = operaciones de suma, resta, y multiplicación escalar tema para el espacio vectorial axiomas), no un espacio cuyos elementos son necesariamente llamados "vectores". Lineal y de espacio vectorial estructura también se utilizan indistintamente para el mismo concepto. Esta convención de nomenclatura es la misma que para espacios topológicos, espacios métricos, espacios de Banach, uniforme de espacios, y casi cualquier otro tipo de espacio estructurado definido en matemáticas teóricas. Una X el espacio es un espacio con estructura en X, pero no es necesariamente un espacio cuyos elementos son X.

Aunque los elementos de un espacio vectorial puede, en principio, se conoce como vectores, generalmente tienen otras preferido nombres, tales como "puntos" o "funciones" o "secciones", que tienen prioridad. Geométricas, flechas de un punto a otro son llamados vectores, pero no satisfacen el espacio vectorial axiomas debido a la falta de unicidad de $0$. Es que los desplazamientos (clases de equivalencia) asociados con el geométrica de los vectores que forman un auténtico espacio vectorial. "Vector" también se utiliza, tanto en matemáticas como en la programación de la computadora, para denotar ordenó $n$-tuplas cuyos componentes son todos el mismo tipo de objeto, y los vectores no, en general, realizar las operaciones algebraicas necesarias para formar un espacio vectorial.

Answer 4

El Vector palabra se utiliza para nombrar algunos estrechamente relacionado con las ideas tan cerca, de hecho, que ellos pueden ser considerados como teniendo la misma estructura.

Me presentaron a los vectores como las cantidades que había magnitud y dirección en dos o tres dimensiones. Dos dimensiones de la geometría plana en matemáticas y tres dimensiones para las fuerzas y las velocidades y al igual que en la física. Parece que a partir de esta descripción, como si la magnitud y la dirección sería matemáticamente aspectos importantes. Sin embargo, dos diferentes conjuntos de ideas también entran en juego.

La primera es que podemos describir de posiciones en el espacio o en el plano mediante coordenadas. Así que podremos convertir todos nuestros vectores y sus propiedades en el lenguaje de coordenadas. Una vez que hemos elegido un sistema de coordenadas tenemos un lenguaje para hablar acerca de cantidades vectoriales, y resulta que los vectores pueden ser identificados con los pares ordenados o triples o cuádruples, etc, dependiendo de la dimensión del espacio en el que estamos trabajando. Así que ahora, en lugar de magnitudes y direcciones, hemos ordenado $n$-tuplas para describir la misma cosa.

La segunda idea es que debemos ser capaces de hacer geometría sin tener que escoger un sistema de coordenadas. Coordenadas puede ser conveniente en muchos casos, pero también pueden oscurecer la simplicidad o el patrón de lo que está sucediendo. Pero para hacer algo serio con vectores necesitamos conocer sus propiedades. Resulta que el hecho de que usted puede agregar vectores juntos, junto con la posibilidad de multiplicar con los escalares proporciona una rica estructura que hace que el sentido original de los vectores en dos o tres dimensiones, y da resultados generales que se aplican en matemáticamente significativas situaciones mucho más ampliamente. Ya que los resultados se demuestra que sólo dependen de la estructura básica, como en una gran cantidad de matemáticas que trabajar más en general de nuestro primer ejemplo, y terminar ganando una gran cantidad de la generalidad. Pero siempre tenemos nuestro primer ejemplo, como un ejemplo básico.

Es esta descripción estructural, que trae en el "álgebra lineal" del título, ya que la adición y la multiplicación por escalares son fundamentales para los sistemas lineales en matemáticas (y de hecho en la física).

Espero que ayude a entender un poco por qué las cosas parecen más complicadas justo en el momento.