¿Puede $\int|f_n|d\mu \to \int |f|d\mu$ pero no $\int|f_n - f|d\mu \to 0$?

Question

Posibles Duplicados:
La convergencia de una.e. y de las normas implica que en el espacio de Lebesgue

Estoy tratando de mostrar que si $$ \int_X |f_n|d\mu \a \int_X|f|d\mu $$ donde $f$ y todos los $f_n$ han finito integral y $f_n \to f$ pointwise, entonces $$ \int_X |f_n-f|d\mu \a 0. $$

He trabajado a cabo una prueba en el caso de que $\mu(X) < \infty$, pero depende de la Egoroff del teorema que puede fallar si $\mu(X) = \infty$. No puedo encontrar un contraejemplo en el caso de $\mu(X) = \infty$ pero sospecho que no puede ser cierto. Yo estaba pensando en $X=\mathbb{R}$, pero tal vez no es un buen recuento de medida contraejemplo en $\mathbb{N}$.

¿Alguien sabe si esto es cierto en el caso de $\mu(X) = \infty$, y si es así, ¿cómo podría yo empezar en la muestra?

Answer 1

Que $g_n(x):=|f(x)|+|f_n(x)|-|f(x)-f_n(x)|$. Define una función integrable y $g_n\to 2|f|$ pointwise. Además, $g_n\geq 0$. Por lema de Fatou, $$\int_X\liminf_{n\to+\infty}g_n(x)d\mu(x)\leq\liminf_{n\to+\infty}\int_Xg_n(x)d\mu(x).$ $ la LHS es $2\int_X|f(x)|d\mu(x)$, y el lado Derecho es $2\int_X|f(x)|d\mu(x)+\liminf_{n\to +\infty}-\int_X|f-f_n|d\mu$. Esto da $$0\leq -\limsup_{n\to +\infty}\int_X|f-f_n|d\mu,$ $, que es el resultado deseado.

En particular, esto funciona sin la asunción de la finitud de la medida (basta con una medida positiva).