¿Tiene esta desigualdad norma del producto Cruz?

Question

Que $\times$ denotar el producto cruzado. $\;$ Es el caso que

Toda unidad vectores $\:\mathbf{x}\hspace{.01 in},\hspace{-0.03 in}\mathbf{y}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.02 in}\mathbf{z}\:$ $\mathbf{R}^3$, $\;\;\;\; \left|\left|\hspace{.03 in}\mathbf{x} \hspace{-0.03 in}\times \hspace{-0.03 in}\mathbf{z}\hspace{.02 in}\right|\right| \:\: \leq \:\: \left|\left|\hspace{.03 in}\mathbf{x} \hspace{-0.03 in}\times \hspace{-0.03 in}\mathbf{y}\hspace{.02 in}\right|\right| \hspace{.02 in}+\hspace{.02 in}\left|\left|\hspace{.03 in}\mathbf{y} \hspace{-0.03 in}\times \hspace{-0.03 in}\mathbf{z}\hspace{.02 in}\right|\right| \;\;\;\;\;$.

?


(Si sí, entonces $\;\;\; \langle [\mathbf{x}]\hspace{.01 in},\hspace{-0.03 in}[\hspace{.02 in}\mathbf{y}] \rangle \: \mapsto \: \left|\left|\hspace{.03 in}\mathbf{x} \hspace{-0.03 in}\times \hspace{-0.03 in}\mathbf{y}\hspace{.02 in}\right|\right| \;\;\;$ define una métrica bien en el plano proyectivo.)

Answer 1

Ya que son todos los de la unidad de vectores, el producto cruzado de cualquiera de los dos es solo el pecado del ángulo entre los dos, y también es directamente proporcional al área del triángulo formado el uso de los vectores como dos de los lados. Por lo tanto, es equivalente a demostrar que, dado un tetraedro ABCD con ||AB|| = ||AC|| = ||AD|| = 1, [ABC] <= [ABD] + [ACD]. Ahora, existe una línea a través de Un ejemplo de que la proyección de a sobre un punto en el plano que contiene BCD tiene ||B|| = ||C|| = ||A D||. Esta proyección también se mantiene la proporción entre las áreas de los triángulos, y por lo que es suficiente para mostrar [UN'BC] <= [A'BD] + [A'CD]. Por otra parte, dado que el rango de la cruz del producto es [0, pi], ángulos C'BA, CA, DA B también se encuentran dentro de ese rango.

Ahora, vamos a = BA D, b = CA D, y así BA C = 2*pi - a - b, y la conversión de la espalda a partir de los triángulos de ángulos, es suficiente para mostrar el pecado(2*pi - a - b) <= sin(a) + sen(b), y por tanto sólo que 0 <= sin(a) + sen(b) + sen(a + b), 0 <= a, b <= pi. Por otra parte, el pecado(a) + sen(b) + sen(a + b) = cos(a/2)*cos(b/2)*sin((a+b)/2). Por último, dado que cos(x) es no negativa para x en [0, pi/2], como es el pecado(x) para x en [0, pi], la desigualdad se cumple y ya está.