La analogía entre el cociente de los grupos y el cociente de la topología

Question

Estoy tratando de ver la "analogía" entre los dos conceptos en el título, aunque estoy familiarizado con independiente definiciones de ellos.

(1) Vamos a $G$ ser un grupo, $N$ un subgrupo normal. Definir una relación de equivalencia en $G$ $g_1\sim g_2$ si $g_1g_2^{-1}\in N$. Deje $[g_1]$ denotar la clase de equivalencia de a $g$, e $G/N$ el conjunto de clases de equivalencia. Entonces tenemos un canónica mapa de $\varphi\colon G\rightarrow G/N$, donde dominio es el grupo, y codominio es "set" ahora mismo.

A continuación, el cociente de la estructura en $G/N$ es un grupo de la "estructura" de manera tal que el mapa de $\varphi$ se convierte en un homomorphism. Una estructura de este tipo es único. Llamamos a $G/N$ cociente de grupo.

(2) Vamos a $X$ ser un espacio topológico, $\sim$ una relación de equivalencia en $X$, e $[x]$ el valor de equivalencia de la clase. Deje $X/{\sim}$ denota el conjunto de clases de equivalencia. Entonces no es canónica mapa de $\varphi\colon X\rightarrow X/{\sim}$, donde dominio es topológico, espacio y codominio es el conjunto justo ahora.

El cociente de la topología en $X/{\sim}$ es una topología tal que el mapa de $\varphi$ es continua.

Pero tuve la sensación de que podría haber más de un topológica de estructuras en $X/\sim$ que hacen de la canónica mapa continuo. Por ejemplo, tomar buen ejemplo de topología cociente por un lado, y la estructura de la topología indiscreta en $X/{\sim}$ en el otro lado.

Pregunta: ¿Cuál es la definición exacta de la topología cociente que la hace única en algún sentido? (comparar con coeficiente de estructura en (1))

Answer 1

El cociente de la topología es la única topología en el set $X/{\sim}$ de las clases de equivalencia tal que para cualquier espacio topológico $Y$ y cualquier mapa $f:X/{\sim}\to Y$, $f$ es continua iff $\varphi\circ f$ es continua. (Tenga en cuenta que en el caso de que usted tome $Y=X/{\sim}$ $f$ a ser el mapa de identidad, esto dice en particular que $\varphi$ sí es continua.) El análogo de la caracterización también funciona para el cociente de la estructura del grupo, y casi cualquier otra cociente de la estructura de la que nunca voy a correr en.

Otra forma de frase en el caso de los espacios topológicos es que el cociente de la topología es la mejor topología que hace que $\varphi$ continuo. De hecho, para cualquier topología que hace que $\varphi$ continuo, $\varphi\circ f$ será continua siempre que $f$ es continua. Así, suponiendo $\varphi$ es continua, la condición anterior es sólo que $f$ es continua siempre que $\varphi\circ f$ es: que es, hay muchos continuo mapas de $X/{\sim}$ como sea posible (dada la condición de que $\varphi$ es continua). Más continuo mapas fuera de un espacio de los medios más fino de la topología, por lo que esto está diciendo que es el mejor de la topología para que $\varphi$ es continua.

Answer 2

Estos dos cocientes tienen la siguiente característica universal: Deje $X$ ser un grupo (espacio topológico). En el caso de grupos, se puede asociar una relación de equivalencia para cada subgrupo normal, que es $x\sim y $ si pertenecen a la misma coset. A continuación, $G/N$ es sólo $G/\sim $ como un conjunto.

Así que ahora sólo nos queda ver el problema común de que va el mod una relación de equivalencia. El cociente de la estructura en $X/\sim $ es la que hace que el cociente mapa de $p: X\to X/\sim $ tienen la característica universal que, dado un mapa (continua o grupo homomorphism respectivamente) $g:X\to Y$ $f(x)=f(y)$ todos los $x\sim y$ entonces existe un único $\bar{g}:X/\sim \to Y$ tal que $g=p\circ\bar{g}$.

Usted puede tratar de entrenamiento y que en el caso de grupos, esta característica universal se asegura de que el cociente de la estructura de grupo en la $G/N$ es la única donde el $G\to G/\sim$ es un grupo homomorphism. Pero para los grupos que no pueden ir de la mod arbitraria de las relaciones de equivalencia sólo las derivadas de los subgrupos normales.

Por otra parte, para espacios topológicos, no puede ser de otra topológica de estructuras espaciales en $X/\sim $ hacer $X\to X/\sim$ continuo, pero sólo el cociente mapa tiene la característica universal.