Confundido por los libros de texto de la solución al problema de trigonometría

Question

La siguiente es parte de una pregunta y la solución de mi libro de texto:

Pregunta

Dado que el $2 \sin{2\theta} = \cos{2\theta}$, muestran que $\tan{2\theta} = 0.5$

Solución

$2 \sin{2\theta} = \cos{2\theta}$
$\Rightarrow \frac{2 \sin{2\theta}}{\cos{2\theta}} = 1$
$\Rightarrow 2 \tan{2\theta} = 1~~~\tan{2\theta} = \frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}$

Estoy seguro acerca de esta parte: Ya que es posible que $\cos(2\theta) = 0$, no es mala forma de dividir por $\cos(2\theta)$?

Answer 1

Si $\cos(2\theta) = 0$ $\sin(2\theta)$ debe $1$ o $-1$. Por lo $2\sin(2\theta)$ podría no ser igual a $\cos(2\theta)$.

Answer 2

Tienes toda la razón. Es muy mala forma de dividir por cero y es una cosa muy buena que has notado ese problema.

Como ya fue señalado en las otras respuestas y comentarios, en la situación actual esto no es demasiado malo, ya que no conducen a una conclusión incorrecta, pero esto es más bien un accidente que bien y cuidado con el razonamiento. Se me para el grado de esta solución, el libro de texto de autor no consigue la máxima puntuación para que (asumiendo que lo que la pantalla está toda la explicación).

Habría sido mucho mejor comenzar con AlbertH de la observación, por lo que es como yo lo habría escrito la solución:

Nos gustaría dividir por $\cos{(2\theta)}$ a fin de obtener la tangente en el lado izquierdo. Para hacer esto, debemos excluir la posibilidad de que $\cos{(2\theta)} = 0$. Desde $\sin^{2}{(2\theta)} + \cos^{2}{(2\theta)} = 1$, llegamos a la conclusión de $\cos{(2\theta)} = 0$ que $\sin{(2\theta)} = \pm 1$. Por lo tanto, tendríamos $\pm 2 = 2 \sin{(2\theta)} \neq \cos{(2\theta)} = 0$, por lo que la ecuación dada no está satisfecha, y que se puede excluir $\cos{(2\theta)} = 0$. Ahora podemos dividir por $\cos{(2\theta)}$ y obtenemos $1 = \frac{2 \sin{(2\theta)}}{\cos{(2\theta)}} = 2 \tan{2\theta}$ e lo $\tan{(2\theta)} = \frac{1}{2}$ como se desee.