Dirichlet vs. densidad logarítmica

Question

El Densidad de Dirichlet de A en relación con B es $$ \lim_ {s \to 1^+} \frac { \sum\limits_ {n \in A}n^{-s}}{ \sum\limits_ {n \in B}n^{-s}} $$

y el densidad logarítmica de A en relación con B es $$ \delta (A) = \lim_ {n \to \infty } \frac { \sum_ {a \in A,\, a \le n} \frac1a }{ \sum_ {b \in B,b \le n} \frac 1b} $$

con las respectivas densidades inferiores y superiores definidas con $ \liminf $ y $ \limsup $ respectivamente. ( $A \subseteq B \subseteq\mathbb {N}$ por supuesto.)

He leído en una fuente que la densidad de Dirichlet existe si y sólo si la densidad logarítmica existe (en cuyo caso son iguales). En otra fuente he leído que son iguales. Quería comprobarlo; a saber:

• ¿La menor densidad de Dirichlet es siempre igual a la menor densidad logarítmica?
• ¿La densidad superior de Dirichlet es siempre igual a la densidad logarítmica superior?
• ¿La densidad Dirichlet siempre existe si y sólo si existe la densidad logarítmica más baja?
• Si ambos existen, ¿son iguales?
• ¿Lo anterior se mantiene en el caso especial $B= \mathbb {N}$ ?
• A veces la terminología no está normalizada; ¿son estas definiciones normalizadas?

Answer 1

Deje que

$$ \alpha_ {n} = \sum_ { \substack { a \leq n \\ a \in A}} \frac {1}{a} \quad \text {and} \quad \beta_ {n} = \sum_ { \substack { b \leq n \\ b \in B}} \frac {1}{b}. $$

Lo siguiente es válido: $$ \varliminf_ {n \to\infty } \frac { \alpha_ {n}}{ \beta_ {n}} \leq \varliminf_ {s \to 0^{+}} \frac { \sum_ {n \in A} n^{-1-s}}{ \sum_ {n \in B} n^{-1-s}} \leq \varlimsup_ {s \to 0^{+}} \frac { \sum_ {n \in A} n^{-1-s}}{ \sum_ {n \in B} n^{-1-s}} \leq \varlimsup_ {n \to\infty } \frac { \alpha_ {n}}{ \beta_ {n}} \tag {1} $$

Es evidente que esta desigualdad se mantiene si $ \beta_ {n}$ converge. (En este caso, la desigualdad anterior se reduce a la igualdad.) Así que podemos asumir que $ \beta_ {n} \to \infty $ . Entonces note que tenemos

$$ \sum_ {n \in A} \frac {1}{n^{1+s}} = \sum_ {n=1}^{ \infty } \alpha_ {n} \left ( \frac {1}{n^{s}} - \frac {1}{(n+1)^{s}} \right ) $$

y de la misma manera para $ \beta_ {n}$ . Así que si ponemos $ \bar { \rho } = \varlimsup \alpha_ {n} / \beta_ {n}$ para $ \epsilon > 0$ podemos encontrar $N$ de tal manera que $ \alpha_ {n} < ( \bar { \rho } + \epsilon ) \beta_ {n}$ para $n > N$ . Así

\begin {alineado*} \sum_ {n \in A} \frac {1}{n^{1+s}} & \leq \sum_ {n \leq N} \alpha_ {n} \left ( \frac {1}{n^{s}} - \frac {1}{(n+1)^{s}} \right ) + \sum_ {n>N} ( \bar { \rho } + \epsilon ) \beta_ {n} \left ( \frac {1}{n^{s}} - \frac {1}{(n+1)^{s}} \right ) \\ &= \sum_ {n \leq N} ( \alpha_ {n} - ( \bar { \rho } + \epsilon ) \beta_ {n}) \left ( \frac {1}{n^{s}} - \frac {1}{(n+1)^{s}} \right ) + ( \bar { \rho } + \epsilon ) \sum_ {n \in B} \frac {1}{n^{1+s}} \tag {2} \end {alineado*}

Dividiendo ambos lados de $(2)$ por $ \sum_ {n \in B} n^{-1-s} $ y tomando $s \to 0^{+}$ Tenemos

$$ \varlimsup_ {s \to 0^{+}} \frac { \sum_ {n \in A} n^{-1-s}}{ \sum_ {n \in B} n^{-1-s}} \leq \bar { \rho } + \epsilon. $$

Aquí, explotamos el hecho de que

$$ \lim_ {s \to 0^{+}} \sum_ {n \in B} \frac {1}{n^{1+s}} = \sum_ {n \in B} \frac {1}{n} = \lim_ {n \to\infty } \beta_ {n} = \infty $$

para que el $ \sum_ {n \leq N}$ parte de la suma $(2)$ dividido por $ \sum_ {n \in B} n^{-1-s} $ desaparece como $s \to 0^{+}$ . Desde $ \epsilon $ es arbitraria, obtenemos la mayor parte de la desigualdad $(1)$ . Consideraciones similares prueban otro lado, completando la prueba.

Kunnysan mostró que $(1)$ no tiene por qué reducirse a una igualdad, por lo que no está lejos de ser el resultado más agudo.