¿Cuál es la definición de la distancia en la curva el espacio-tiempo de la relatividad general?

Question

Mientras que estoy aprendiendo de la relatividad general, la definición de la distancia realmente me confunde. Por ejemplo, observamos que la distancia entre la Tierra y el Sol (por lo general por un tránsito de Venus), lo que hace que la distancia media? Cuando decimos que la PSR1913-16 del semi-eje mayor es 1,950,100 km, ¿qué significa?

En Schwarzschild espacio-tiempo, podemos ser un observador estacionario debido a que el espacio-tiempo es estacionaria. A continuación, tenemos una definición clara de la simultaneidad de la superficie, por lo que podemos definir la distancia de la longitud adecuada en la simultaneidad de la superficie entre dos objetos. (Sin embargo,no estoy seguro de si podemos hacerlo si no tenemos a un observador estacionario). Es lo mismo que hacemos en el plano espacio-tiempo.

Sin embargo, en general, el espacio-tiempo no siempre es estacionaria. Podemos incluso NO tienen un tiempo de coordenadas ortogonales del sistema y NO tener ninguna Matanza de campos vectoriales. Así que pueden no tener NI especial los sistemas de coordenadas NI especial vector de campo. No podemos dar un adecuado y definición única de la simultaneidad de la superficie y la distancia.

Tenemos 3+1 formalismo, pero cuando el cierto observador se da, se da también arbitraria de simultaneidad de las superficies, de modo que hemos arbitrario de definiciones de la distancia. Sé muy poco acerca de esto, así que no estoy seguro.

En resumen, sólo quiero saber:
1. Dado un cierto observador(como humanos en la tierra),hay un adecuado y definición única de la distancia en la curva el espacio-tiempo de la relatividad general? Si la respuesta es sí, ¿qué es?
2. Si la respuesta de la primera pregunta es no, ¿qué hace el PSR1913-16 del semi-eje mayor significa? Lo que hace la distancia entre la Tierra y el Sol significa?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

La distancia espacial entre dos puntos es, si usted escoge una foliación por spacelike hypersurfaces, la distancia entre el punto de $A$ $B$ es la integral a lo largo de la menor geodésica que une los dos puntos con los que la inducida por la métrica. En otras palabras,

$$d(A,B) = \min_i \left(\int_A^B \mathrm d\lambda \sqrt{h^{ab} \frac{\mathrm dx_i^a(\lambda)}{\mathrm d\lambda} \frac{\mathrm dx_i^b(\lambda)}{\mathrm d\lambda}}\right)$$

Donde $h$ es la inducida por la métrica en la hipersuperficie, y $x_i$ obedece

$$\ddot x^a + {\Gamma^a}_{bc} \dot x^b \dot x^c = 0$$

y pasa a través de puntos de $A$$B$. Si usted no puede obtener una foliación, no estoy muy seguro de si la distancia espacial entre dos puntos está bien definido, a nivel mundial, al menos.

Si quieres hacerlo para un determinado observador, es probablemente una buena idea elegir a Fermi se coordina con el tiempo apropiado de el observador de la foliación.

Answer 2

La respuesta a tu primera pregunta es:

La distancia en la relatividad general está dada por;

$ ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu $

En la relatividad especial (el espacio-tiempo de minkowski) esto se reduce a;

$ds^2= dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2$ $ = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu $

Si usted sabe la métrica del espacio-tiempo (que se obtiene mediante la resolución de ecuaciones de campo de Einstein), entonces usted puede encontrar la distancia entre los 2 eventos utilizando las fórmulas anteriores

Espero que ayude! :D

Answer 3

Hasta donde yo sé, la respuesta a la primera pregunta es: No, no existe una única definición de un espacio de distancia en una curva el espacio-tiempo. Ya en los casos más sencillos, como la métrica de Friedmann existen varias definiciones de distancia: https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_measures_(cosmología) sin Embargo, para pequeñas distancias y pequeñas curvaturas (que se aplica en el caso de la Tierra y el Sol ejemplo) todas las definiciones que se dan aproximadamente el mismo resultado (la de Minkowski). Tan pronto como la curvatura o la distancia (por ejemplo, puntos junto a un agujero negro o puntos distantes en un universo de Friedmann, respectivamente) de las desviaciones de las diferentes definiciones se vuelven grandes.

Answer 4

Primero de todo, supongo que usted se refiere a la distancia en el espacio, y no a la distancia en el espacio-tiempo (el cual es invariante, como se muestra en la respuesta de user122066).

La relatividad especial se reserva una respuesta clara de lo que la longitud está en relación con la duración de la contracción, y este principio puede ser adoptado por la relatividad general, incluyendo la solución de Schwarzschild.

Para la explicación, quiero comenzar con un modelo simplificado, donde el worldline de la Tierra es estacionaria con respecto al Sol (esto significa que si ambos eran pertenecientes a un mismo marco de referencia). En este caso, la distancia adecuada es la distancia entre la Tierra y el Sol, medido por los observadores en el marco de referencia de la Tierra-Sol. La distancia adecuada es la mayor distancia que se puede medir. Los observadores que se mueven con respecto al marco de referencia de la Tierra-Sol son la observación de distancias cortas, debido a que el observado a distancia está sujeta a la contracción de Lorentz.

Sin embargo, la Tierra y el Sol no son pertenecientes a un mismo marco de referencia. El trabajo que se ha hecho en este caso debe empezar desde el modelo anterior, por la sincronización apropiada, teniendo en cuenta también la pregunta exacta que desea responder, en particular si se refiere a una partícula (o varias partículas) movimiento de la Tierra al Sol (y de Sol a la Tierra, para propósitos de sincronización), o si usted no se refiere a una partícula. Partículas (masa de partículas o partículas sin masa como la de la luz) son necesarios para la sincronización.

Creo que esta es la definición exhaustiva de la distancia que tenemos de especial (y general) de la relatividad de einstein.

---

(Edición más a la observación de goodqt)

Sin embargo,en general,habrá muchos marcos de referencia que no puede ser synchronizable.

Esta es una muy interesante pregunta. La pregunta es sobre el problema de, por ejemplo, de dos estrellas, en el espacio a una distancia que no están relacionados uno con el otro, tal vez incluso demasiado lejos para enviar señales de luz de uno a otro (uno, no en el "universo observable" de la otra).

De acuerdo a las anteriores explicaciones de mi respuesta, no habría distancia! Y también Slereah en la otra respuesta llega a una conclusión similar:

"No estoy muy seguro de si la distancia espacial entre dos puntos es bien se define, a nivel mundial, al menos."

Esta es una conclusión increíble, de verdad, y tengo la esperanza de que habrá otras respuestas para tu pregunta que va a poner luz en este asunto.

Personalmente, me puede proporcionar una solución, pero con todas las reservas porque puede haber otras soluciones que se basan en la curva el espacio-tiempo, este sería interesante saber.

Mi solución es la siguiente:

Debemos tener en cuenta el carácter de la curva el espacio-tiempo como un modelo de gravedad, lo que significa que podemos imaginar la gravedad curva el espacio-tiempo, sino curva el espacio-tiempo es sólo una herramienta de la física que no necesariamente representan la totalidad de la estructura del universo.

La solución de Schwarzschild nos proporciona un medio de la sustitución de la curva el espacio-tiempo por gravitacional de la dilatación del tiempo. Que significa: Gravitacional de la dilatación del tiempo es equivalente a una curva el espacio-tiempo que es la gravedad.

Usted puede obtener una entrada a la equivalencia de la cuestión por la respuesta de John Rennie a esta pregunta.

Por consecuencia, el modelo de la curva el espacio-tiempo de la métrica de Schwarzschild, podrá ser sustituido por un modelo alternativo que describe la gravedad como mera dilatación del tiempo.

En este modelo alternativo, hemos eliminado curva el espacio-tiempo, y volvemos al espacio absoluto. Y en este hecho se encuentra la respuesta a su pregunta: En un modelo con absoluta del espacio, las distancias son bien definidos!