Mi prueba de $\lim_{n\to\infty} (1 / n) = 0$

Question

Es mi prueba correcta?

Consideramos que la secuencia \begin{equation*} (x_n)_{n = 1}^{\infty}, \qquad \text{where} \qquad x_n = \frac{1}{n}. \end{ecuación*}

$\textbf{Theorem.}$ \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} x_n = 0. \end{ecuación*}

$\textit{Proof.}$ Por definición, tenemos \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} x_n = 0 \end{ecuación*} si, y sólo si, para cada número real positivo $\varepsilon$, hay un número natural $N$ de manera tal que, para cada número natural $n > N$, tenemos $|x_n - 0| < \varepsilon$, es decir,$|x_n| < \varepsilon$. Deje $\varepsilon \in \mathbb{R}$ tal que $\varepsilon > 0$. Queda por demostrar que existe un adecuado $N$. Necesariamente, hay un $N \in \mathbb{N}$ tal que $N > 1 / \varepsilon$. Queda por demostrar que esta $N$ es el adecuado. Para ese fin, vamos a $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > N$. Obviamente, $n$ es positivo. Queda por demostrar que $| x_n| < \varepsilon$, es decir, $|1 / n| < \varepsilon$. Desde $1 / \varepsilon < N$$N < n$, tenemos la desigualdad $1 / \varepsilon < n$. Sin duda, una a cada lado de la desigualdad es positivo. Por lo tanto, \begin{equation*} $$\begin{split} (1 / \varepsilon)^{-1} & > n^{-1} \\ \varepsilon & > 1 / n. \end{split}$$ \end{ecuación*} También, desde la $n$ es positivo, tenemos $1 / n = | 1 / n |$. Por lo tanto, $| 1 / n | < \varepsilon$. QED

Answer 1

La prueba es correcta, pero se debe evitar el preámbulo, y se puede acortar y hacer más rigurosa mediante:

Teorema (Archimedian propiedad de los reales): real $x,y$$x>0$, existe un número natural $N$ tal que $Nx>y$.

Luego de la breve prueba sería:

Dado $\epsilon>0$, por el Archimedian de la propiedad, existe un número natural $N$ tal que $N\epsilon>1$. Entonces si $n\geq N$,$0<\frac{1}n\leq\frac{1}{N}<\epsilon$. Por lo tanto$|\frac{1}{n}-0|<\epsilon$$n\geq N$.

Por tanto, por definición: $$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{1}{n}\right| = 0$$