Estoy buscando una densidad de probabilidad dependiente del tiempo $f(x,y,t)$ resolver la ecuación $$-\frac{\partial f}{\partial t} = \alpha\cdot \big(y - F(x)\big)\frac{\partial f}{\partial x}+\beta\cdot \big(G(y)-x\big)\frac{\partial f}{\partial y},$$ donde las funciones de coeficiente $F$ y $G$ dado por \begin{align}F(x) &= a_0 + a_1 x + o(x - x^{0}),\\ G(y) &=b_0 + b_1y + o(y-y^{0}).\end{align}
Mi pregunta es: ¿A qué clase general de ecuaciones pertenece esta EDP, y cuál sería su ángulo de ataque en dicho problema (si es que tiene algún sentido)?
Observación I: Bajo la suposición de la existencia de una solución, mi ángulo de ataque inicial fue reescribir la ecuación como $$i \frac{\partial f}{\partial t} = L\,f$$ donde $L$ es un operador que actúa sobre $f$ dado por $L = -i\left[\alpha\big(y - F(x)\big)\frac{\partial}{\partial x}+\beta\big(G(y)-x\big)\frac{\partial}{\partial y}\right]$ . Entonces -supongo- podemos expresar formalmente la densidad $f$ como $$f(x,y,t)=\sum_k c_ke^{-i\lambda_k t}\varphi_k(x,y),$$ donde $\lambda_k$ y $\varphi_k$ son los valores propios y las funciones propias correspondientes al operador $L$ . Por lo tanto, me lleva a considerar las ecuaciones $$L(\varphi_k) = \lambda_k\,\varphi_k$$ e intercambiar las soluciones $\varphi_k$ y $\lambda_k$ en la solución formal. Pero no he sido capaz de encontrar las funciones propias, tal vez mi paciencia era demasiado corta.
Observación II: Una condición necesaria, supongo, para la existencia de una densidad que resuelva la EDP es la existencia de curvas $x$ y $y$ resolver las ecuaciones "depredador-presa" $$\frac{dx}{dt} = \alpha\cdot (y - F(x)),\qquad \frac{dy}{dt} = \beta\cdot (G(y)-x).$$ Si despreciamos los términos pequeños, poniéndolos a cero (¿es eso completamente ilegal?), las curvas $x$ y $y$ vienen dadas por \begin{align}x(t) &=-\frac{a^0}{a^1} + C_1 e^{-a^1\mu t} + \frac{1}{1-a^1}\left[\frac{b^0}{b^1}+\frac{a^0}{a^1b^1}-C_2 e^{b^1\lambda t}-\frac{C_4}{b^1}e^{-a^1\mu t}\right]\\ y(t) &= \frac{a^1}{1-a^1}\left[\frac{b^0}{b^1}+\frac{a^0}{a^1b^1}-C_5 e^{b^1\lambda t}-\frac{C_6}{b^1}e^{-a^1\mu t}\right] \end{align} donde $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ , $C_4$ , $C_5$ y $C_6$ son constantes arbitrarias.
