Es dualizablility de un objeto equivalente a tensoring con el objeto de tener una izquierda adjunto?

Question

Deje $C$ ser un cerrado simétrica monidal categoría. Hay por lo tanto una contigüidad $$ -\otimes X\colon C\leftrightarrows C\colon Mapa(X,-) $$ involucrando el interior Hom $Map(-,-)$ por cada objeto $X$ $C$

Un objeto $X$ $C$ se llama dualizable si la canónica mapa $$ X\otimes DX\a Mapa(X,X) $$ es un isomorfismo donde $DX=Map(X,1)$. Resulta, que esta condición es equivalente a la condición de que la canónica mapa de $Y\otimes DX\to Map(X,Y)$ es un isomorfismo para cada una de las $Y$$C$. El isomorfismo $$ Mapa(Y,Z\otimes X)\cong Mapa(Y,Z\otimes DDX)\cong Mapa(Y,Mapa(DX,Z))\cong Mapa(Y\otimes DX, Z) $$ muestra que hay una contigüidad $$ -\otimes DX\colon C\leftrightarrows C\colon -\otimes X $$ para un dualizable $X$, por lo que, a continuación, $-\otimes X$ tiene no sólo un derecho adjoint pero también a la izquierda adjunto.

Es un objeto $X$ $C$ necesariamente dualizable, si $-\otimes X$ tiene un adjunto a la izquierda y no de izquierda adjoint tiene que ser $-\otimes DX$?

Answer 1

[Esta respuesta es copiado con muy pequeñas modificaciones de preprint de la mina "El Equilibrado del Producto Tensor de Módulo de Categorías" en la articulación con Chris Douglas y Chris Schommer-Pries que aparecerá en el arxiv en las próximas semanas.]

Deje $\mathcal{R} \cong \mathrm{Vec} \oplus \mathrm{Vec} \cdot X$ ser el monoidal simétrica categoría consiste de pares de vectores espacios de los que escribimos como $V_1+V_2 X$ con tensor de producto dada por

$(V_1+V_2 X) \otimes (W_1+W_2 X) = (V_1 \otimes W_2 \oplus V_2 \otimes W_1)X.$

Hasta equivalencia no son las únicas opciones de asociador, unitors, y simétrica de la estructura, haciendo de esta una monoidal simétrica categoría. Es finito y semisimple, y es un categorification de el anillo de $k[x]/(x^2)$, pero no es rígida. El objeto X no puede tener un doble como no hay ningún objeto $Z \in \mathcal{R}$ tal que $Z \otimes X$ tiene un valor distinto de cero mapa hacia o desde el objeto de la unidad de $\mathcal{R}$.

Sin embargo, es fácil ver que la tensoring con $X$ es un functor exacto y por lo tanto, por el functor adjunto teorema tiene tanto adjoints. Explícitamente, el medico adjunto tensoring con $X$ es el functor que envía a $X \mapsto 1$ $1 \mapsto 0$ (desde $\mathcal{R}$ es semisimple esto describe un único functor).