Por lo que yo entiendo decimos que una función es creciente en un intervalo de $I$ si $$ x_1 < x_2 \quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2). $$ para todos los $x_1,x_2\in I$. Entiendo que algunos podrían llamar a esto estrictamente creciente y permitir la igualdad cuando se dice creciente.
Sabemos que cuando una función es diferenciable en el intervalo de $I$, entonces si $f'(x) > 0$ $I$ entonces $f$ es el aumento en $I$. Pero aquí tenemos que tener cuidado porque si $f(x) = x^3$$f$, de hecho, es cada vez mayor en $\mathbb{R}$ aunque $f'(0) = 0$. Por tanto, no podemos concluir que si $f$ va en aumento, a continuación, $f'(x)$ debe ser positiva en el intervalo.
También, aunque$f(x) = x^2$, $f$ es el aumento en $[0,\infty)$ aunque $f'(0) = 0$.
Mi pregunta es
¿Tiene sentido hablar de una función que es creciente en un punto?
La única definición que puedo pensar de hacer es decir que $f$ es creciente en un punto de $a$ si $f'(a) > 0$. Pero los problemas con decir esto es que luego la función dada por $f(x) = x^3$ no está aumentando en $0$ aunque está aumentando en todos los de $\mathbb{R}$.
Soy consciente (de aquí) en el ejemplo con $$ f(x) = \begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x}{2} & \text{if }x\neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0\end{casos}. $$ Esta función es diferenciable en a$0$$f'(0) = \frac{1}{2} > 0$. Para $x\neq 0$ tenemos $f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x) + 1/2$. Así que para todas las $x_k = \frac{1}{2k\pi}$ tenemos $f'(\frac{1}{2k\pi}) = -\frac{1}{2} < 0$. Es decir, no hay intervalo alrededor de a $0$ donde $f$ es cada vez mayor. Y por lo que no debe hacer sentido decir que el $f$ es el aumento en $0$.
Un ejemplo que se me ocurre de donde tal vez debería sentido hacer acerca de una función que es creciente en un punto es cuando tomamos la derivada de la función $s(t)$ que da la posición de una partícula. La derivada es la velocidad de la $v(t) = s'(t)$. Y tal vez esto es sólo un problema de idioma, pero aquí parece razonable decir que si $v(a)>0$, entonces la velocidad es positiva en el tiempo $t=a$, por lo que la tasa de cambio es positivo en $a$. Esto es casi decir que la posición es creciente en ese punto.
De nuevo, mi pregunta es si tiene sentido hablar de una función que es creciente (o decreciente) en un punto. Si es así, ¿cómo se define?
