Integral del problema

Question

Encontrar $$ \int e^{x \sin x+\cos x} \left(\frac{x^4\cos^3 x-x \sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}\right) \, dx$$

Mi intento:he intentado poner $x \sin x+\cos x=t$ y no se puede expresar en forma de $\int e^t(f(t)+f'(t)) \, dt$

Answer 1

\begin{align} & \int e^{x\sin x+\cos x}(\frac{x^4\cos^3x-x\sin^2x+\cos x}{x^2\cos^2x})dx\\ & \hspace{5mm} =\int e^{x\sin x+\cos x}(x^2\cos x-\frac{x\sin^2x-\cos x}{x^2\cos^2x})dx\\ & \hspace{5mm} =\int e^{x\sin x+\cos x}(x^2\cos x-\frac{x\tan^2x-\sec x}{x^2})dx \end{align}

Darse cuenta de que $\frac{x\tan^2x-\sec x}{x^2}=\frac{d}{dx}\frac{\sec x}{x}$ y que usted puede hacer $\frac{\sec x}{x}$ aparecen en otros lugares por factorización $x^2\cos x-1$ a $(x-\frac{\sec x}{x})(x\cos x)$. Así que lo de arriba es igual a:

\begin{align} & \int e^{x\sin x+\cos x} \left((x-\frac{\sec x}{x})(x\cos x)+1-\frac{x\tan^2x-\sec x}{x^2}\right) \, dx\\ &=\int \left[e^{x\sin x+\cos x}\left(x-\frac{\sec x}{x}\right)(x\cos x)+e^{x\sin x+\cos x}\left(1-\frac{x\tan^2x-\sec x}{x^2}\right)\right]dx \end{align}

Ahora se dan cuenta de que $e^{x\sin x+\cos x}(x\cos x)=\frac{d}{dx}e^{x\sin x+\cos x}$. El de arriba es igual a: $$\int \left[\left(x-\frac{\sec x}{x}\right)\frac{d}{dx} e^{x\sin x+\cos x})+e^{x\sin x+\cos x}\frac{d}{dx}\left(x-\frac{\sec x}{x}\right)\right]\,dx $$

Ahora, esto se ve exactamente se ve como el producto de la regla de con $u=x-\frac{\sec x}{x}$$v=e^{x\sin x+\cos x}$. De modo que la integral es igual a $$(x-\frac{\sec x}{x})e^{x\sin x+\cos x}+C$$

(Para ser honesto, me hizo uso de WolframAlpha para evaluar la integral y trabajar hacia atrás para tomar la derivada con la mano y luego la inversa de cada paso, pero no veo ninguna otra forma de evaluar un difícil integral a mano...)

Answer 2

Usted tiene la respuesta (sin solución) como una respuesta y un dios sugerencia. Aquí va una forma de pensar:

Si debemos tener cualquier oportunidad de conseguir este, creo que la primitiva tiene que ser en la forma $$ e^{x\sin x+\cos x}f(x) $$ para algunos la función $f$. Por otra parte, $$ De^{x\sin x+\cos x}f(x)=e^{x\sin x+\cos x}(f'(x)+x\cos x f(x)), $$ así que nuestro $f$ debe satisfacer $$ f'(x)+x\cos x f(x)=\frac{x^4\cos^3 x-x \sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}. $$ Observamos que la primera vez que término en el lado derecho se lee (en la división) $x^2\cos x$. Por la comparación, esto sugiere que nuestra función se $f$ podría ser por escrito $$ f(x)=x+g(x) $$ para algunos la función $g$. Pero, a continuación, $g$ debe satisfacer $$ 1+g'(x)+x\cos x g(x)=\frac {x-\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}, $$ o, moviendo la $1$ a mano derecha, $$ g'(x)+x\cos x g(x)=\frac {x-\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}-1. $$ A continuación, el $x^2\cos^2x$ en el denominador se sugiere que la función de $g$ puede ser escrito $$ g(x)=\frac{h(x)}{x\cos x}, $$ para algunos la función $h$. La diferenciación de da $$ g'(x)+x\cos x g(x)=\frac{h'(x)x\cos x-h(x)(\cos x-x\sin x)}{x^2\cos^2x}+h(x). $$ Muy golpe de suerte! Con $h(x)=-1$, estamos todo el conjunto. Por lo tanto, un primitivo es $$ e^{x\sin x+\cos x}\Bigl(x-\frac{1}{x\cos x}\Bigr) $$

Answer 3

Arce produce la respuesta en términos de complejos exponente:

J := int(exp(x*sin(x)+cos(x))*(x^4*cos(x)^3-x*sin(x)+cos(x))/(x^2*cos(x)^2), x);

$$J:={\frac { \left( {x}^{2}{{\rm e}^{2\,ix}}+{x}^{2}-2\,{{\rm e}^{ix}} \right) {{\rm e}^{x\sin \left( x \right) +\cos \left( x \right) }}}{x \left( {{\rm e}^{2\,ix}}+1 \right) }} $$ De hecho, esta expresión es real. Esto puede ser demostrado de tal manera.

simplify(evalc(Re(J)));

$$ 2\,{\frac {\cos \left( x \right) \left( {x}^{2}\cos \left( x \right) -1 \right) {{\rm e}^{x\sin \left( x \right) +\cos \left( x \right) }} }{x \left( \cos \left( 2\,x \right) +1 \right) }} $$

simplify(evalc(Im(J)));

$$0$$