Podemos convertir el functor de la categoría de "anillo" en un 2-functor de una manera natural?

Question

Deje $C$ ser un pequeño pre-categoría de aditivo. Deje $R(C)$ denotar su categoría de anillo, que es, $$ R(C)=\bigoplus_{a,b\in \mathrm{Ob}(C)} C(a,b) $$ como Abelian grupo, donde la suma directa de pistas sobre todos los objetos $a$, $b$ de $C$. La multiplicación en $R(C)$ está dado por la composición de componibles morfismos y 0 para uncomposable morfismos (extendido por bilinearity).

Esta construcción es functorial: Un aditivo functor $C\to D$ entre los pequeños de pre-categorías de aditivos induce un anillo homomorphism $R(C)\to R(D)$ entre el correspondiente a la categoría de los anillos en un canocical manera.

Por lo tanto, tenemos un functor $R$ a partir de la categoría de los pequeños de pre-categorías de aditivos (con aditivo functors como morhisms) a la categoría de los anillos (con anillo de homomorphisms como morfismos).

Pero la categoría de los pequeños de pre-categorías de aditivos tiene un 2-categórica estructura dada por natural transformaciones.

De ahí mi pregunta: ¿este 2 de categorías de la estructura tienen una contraparte en la categoría de anillos? Más precisamente, hay una natural noción de 2-morfismos entre el anillo de homomorphisms de inflexión $R$ a un 2-functor?

Answer 1

Los anillos son precisamente las pre-categorías de aditivos con exactamente un objeto. Así, la categoría de los anillos (no conmutativa aquí) es una $2$-categoría. Si $f,g : R \to S$ $1$- morfismos, a continuación, un $2$-morfismos $f \to g$ es un elemento $s \in S$ tal que para todos los $r \in R$,$s f(r) = g(r) s$.

Así que tome una transformación natural $\eta : F \to G$ entre el aditivo functors $F,G : C \to D$. Entonces podemos tomar la $s = \sum_{x \in C} \eta(x)$ como un elemento de $R(D)$. Pero espera, esta suma no tiene que ser finito. A continuación, vamos a definir $R(-)$ simplemente como el producto y no la suma directa. Esta causa de otros problemas, consulte la respuesta de Agustí Roig.

Ahora el deseado ecuación de $s F(r) = G(r) s$ para algunos de morfismos $r : x \to y$ $C$ es equivalente a

$\sum_{u : F(u)=F(x)} \eta(u) F(r) = \sum_{v : G(v)=G(x)} G(r) \eta(v)$.

Esto parece ser cierto sólo si $F$ $G$ son inyectiva sobre los objetos.

Así que mi respuesta sería: No, lamentablemente $R$ no puede ser hecho en un $2$-functor.

Pero de alguna manera, $R$ debe ser un $2$-functor, y quizás podemos modificar toda la configuración de un pero, para que funcione.

Answer 2

Esta no es una respuesta, sino una elementay pregunta acerca de esta categoría de anillo de $R({\cal C})$. Porque de Martin comentario, voy a utilizar el producto notación: elementos de $R({\cal C})$ son tuplas

$$ f= (f_{ab}) \in \prod_{a, b \in {\mathrm ob} {\cal C}} {\cal C}(a,b) \ , $$

en el que todos los $f_{ab} : a \longrightarrow b$ es una de morfismos de ${\cal C}$. A la derecha?

(Por cierto: ¿estamos todavía en nuestro universo, cuando hacemos un producto de este tipo? Quiero decir: esto no va a ser un "anillo", que es: un pequeño anillo.)

Así, el problema que Martin ha señalado proviene del hecho de que, cuando se multiplican dos de estas tuplas $f=(f_{ab})$ $g= (g_{ab})$ una suma que aparece en la $ab$-componente de $g\cdot f$:

$$ \sum_x g_{xb}\circ f_{ax} \ . $$

Es así?