La prueba de que$ (a+A)\cap A=\varnothing$

Question

Terminé mi examen y hay una pregunta que me han fallado totalmente, sino que mi maestro no ir más, así que estaba esperando que alguien podría publicar una corrección de la misma, por lo que entiendo lo que me iba a hacer para la próxima vez.

Supongamos que a es una contables conjunto de los números reales. Demostrar que existe un número real tal que $(a+A)\cap A=\varnothing$. (Nota: Por definición, $a+A= \{a+r\mid r\in A\}$.)

Answer 1

Deje $B = \{ x \mid (x + A)\cap A \neq \varnothing \} \subseteq \{ x-y \mid x,y \in A \} = C$. De curso $C$ es contable, por lo tanto es $B$, pero $\mathbb{R}$ en innumerables y, por tanto, $\mathbb{R} \backslash B$ no está vacío.

Answer 2

Deje $a$ ser tal que $(a+A) \cap A$ es no vacío, es decir no se $b,c \in A$ tal que $a + b = c$.

A continuación, $a = b-c$ se encuentra en el conjunto de $\{b - c : b,c \in A\}$.

Desde este conjunto es contable con $A$ contables, no es todo de $\mathbb{R}$.