Encontrar el volumen de cilindros cruzados sin cálculo.

Question

He encontrado este rompecabezas aquí. (Es con la etiqueta "cruzado cilindros".) He aquí la descripción:

Dos cilindros de igual radio se intersecan en ángulo recto, como se muestra a la izquierda. Encontrar el volumen de la intersección entre los dos cilindros, sin el uso de cálculo! Una imagen en 3D de la intersección se muestra a la derecha.

Pista (medio sugerencia - exactamente lo que la escuela secundaria fórmulas que necesitas): 1) el Área de un círculo = pi * radius2, y 2) el Volumen de la esfera = (4/3) * pi * radius3

Nota: Resuelto por el matemático Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.), muchísimo antes de que el cálculo vino!!

Por favor, dime cómo resolver este rompecabezas! Es allí una manera de hacer esto sin la configuración de una suma de Riemann y la búsqueda de un límite, esencialmente la evaluación de una integral?

Answer 1

Comparar el sólido a una esfera del mismo tamaño. Las rebanadas del sólido son cuadrados a la esfera de los círculos, por lo que la relación de áreas es siempre $4/\pi$. Los volúmenes deben ser, por tanto, en la misma proporción, dando a $(4/\pi) \cdot (4/3)\pi r^3 = (16/3) r^3$.