Cuando es una suma de cuadrados consecutivos igual a un cuadrado?

Question

Tenemos la suma de los cuadrados de $n$ consecutivos enteros positivos: $$S=(a+1)^2+(a+2)^2+ ... +(a+n)^2$$ Problema era encontrar el más mínimo $n$ tal que $S=b^2$ será cuadrado de algún número entero positivo. He encontrado un ejemplo para $n=11$. Ahora, estoy tratando de demostrar, que si $2<n<11$ allí no es ninguna solución. Así que necesito un poco de ayuda con esto: Si $n,a,b \in \mathbb{N}$ y $n<11$ demostrar que la ecuación

$$ n\cdot a^2 + n(n+1)\cdot a + \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=b^2 $$

no puede ser resuelto. O si estoy equivocado, encontrar contraejemplo.

La única idea que tengo es: a) considerar los restos de $\operatorname{Mod}[b^2,n]$ y $\operatorname{Mod}[\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1),n]$. Por cada $2<n<11$, pero es muy largo.

Answer 1

A continuación es razonable (pero no muy esclarecedor) prueba. Poner $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n} (x+k)^2$. Tenga en cuenta que también es verdad que por $2<n<11$, $S_n(x)$ es nunca una plaza modulo $n^2$ y $S_n(x)$ es nunca una plaza modulo $900$. Tal vez esto inspire a otros a producir más inteligente de las pruebas.

Aquí va :

$$ \begin{array}{ccll} S_3(x) & \equiv & 3x^2+12x+14 \equiv 2 & {\sf mod} \ 3 \\ S_4(x) & \equiv & 4x^2+20x+30 \equiv 2 & {\sf mod} \ 4 \\ S_5(x) & \equiv & 5x^2+30x+55 \equiv 2 \ \text{o} \ 3 & {\sf mod} \ 4 \\ S_6(x) & \equiv & 6x^2+42x+91 \equiv 3 & {\sf mod} \ 4 \\ S_7(x) & \equiv & 7x^2+56 x+140 \equiv 3,8,11 \ \text{o} \ 12 & {\sf mod} \ 16 \\ S_8(x) & \equiv & 8x^2+72x+204 \equiv 2,5,6 \ \text{o} \ 8 & {\sf mod} \ 9 \\ S_9(x) & \equiv & 9x^2+90x+285 \equiv 6 & {\sf mod} \ 9 \\ S_{10}(x) & \equiv & 10x^2+110x+385 \equiv 5,10 \ \text{o} \ 20& {\sf mod} \ 25 \\ \end{array} $$

Cada vez, vemos que $S_n(x)$ es nunca una plaza para el módulo.

Answer 2

En general, hay $n$ consecutivos plazas que se suman a un cuadrado si y sólo si la siguiente ecuación Diophantine tiene soluciones:

$$x^2-ny^2=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$$

con el añadido de la paridad condición de que $y$ y $n$ son diferentes partidos. El valor de $$ y es sólo la suma del primer y último elemento de la secuencia, por lo que $$\frac{y-n+1}{2}$$ es el principio de la secuencia.

Cuando $n$ no es cuadrada, entonces la cosa buena acerca de Pell-como ecuaciones es que si hay una solución con la por encima de la paridad condición, hay infinitamente muchos. En particular, entonces siempre hay una secuencia de sucesivos números positivos si hay alguna secuencia consecutiva de números enteros.

Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces no es una solución si y sólo si $(n,6)=1$. No es siempre el caso de que usted puede encontrar consecutivos de los cuadrados de los números positivos en este caso. Pero podemos obtener una solución $m,m+1,\dots,m+n-1$ $m=\frac{(n+1)(n-25)}{48}$ cuando $n$ un cuadrado perfecto, que da soluciones positivas, excepto cuando $n=1$ y $n=25$. Pero $n=1$, obviamente, tiene soluciones positivas, por lo que el único problema el caso es $n=25$. No hay ninguna solución positiva cuando $n=25$, sólo una no-negativos solución: $0^2+1^2\puntos+24^2$ es un cuadrado.

Cuando $$ n no es un cuadrado perfecto, esta condición se hace más difícil, pero la Pell-como la naturaleza de la ecuación nos da un camino para encontrar algunas soluciones. Por ejemplo, $u^2-nv^2=n(n-1)$ tiene una solución trivial, por lo que si $n+1$ es divisible por $3 dólares, a continuación, podemos encontrar una solución a la ecuación de arriba de $w^2-nz^2 = \frac{n+1}{3}$ produce una solución a la anterior, y resulta que se puede mostrar fácilmente en el caso de que la solución satisface la paridad de condiciones. En particular, si $n=3w^2-1$, entonces $(w,z)=(w,0)$ es una solución, así que sabemos que hay infinitamente muchos que no son cuadrados de los valores de $n$, y, en particular, $n=11$ cuando $w=2$.

Condiciones necesarias cuando $$ n no es un cuadrado:

A. Factor $n=a^{2}b$, $b$ plaza libre, entonces:

1. Si $2 \mid$, entonces $2 \mid b$
2. Si $3 \mid$, entonces $3 \mid b$
3. $3$ es un cuadrado $\pmod{b}$. (Alternativamente, el único de los números primos que dividen a $b$ son $2$, $3$, y los primos de la forma $12k \pm 1$.)
4. Si $3 \mid b$, entonces $b \equiv 6 \pmod{9}$

B.

1. Si $3 \mediados de n+1$, entonces $\frac{n+1}{3}$ es la suma de dos cuadrados perfectos
2. Si $3 \nmid n+1$, entonces $n+1$ es la suma de dos cuadrados perfectos

Estos pueden ser usados para excluir $n=3,...,10$:

• $3$ viola $A. 4.$
• $4$ es un cuadrado y $(4,6)\neq 1$
• $5$ viola $A. 3.$.
• $6$ viola $B. 2$.
• $7$ viola $A. 3.$
• $8$ viola $B. 1.$
• $9$ es un cuadrado no es primo relativo a $6$.
• $10$ viola $B. 2.$

Ver aquí para más detalles y algunas formas explícitamente construir $n$.

No tengo suficientes condiciones. El smalles número que satisface las condiciones anteriores, pero para el que no hay ninguna solución es $n=842$.

Es más fácil llegar con las condiciones necesarias y suficientes para la cuestión de si existe una progresión aritmética de longitud $$ n, tales que la suma de los cuadrados es un cuadrado. De hecho, si $y$ y $n$ son de la misma paridad en la ecuación anterior, que equivale a una secuencia de $n$ impares consecutivos números cuyos cuadrados que se suman a una plaza.